什么是 Drude 模型？它在固体物理中的意义是什么？ 第1页

谢邀，题主提了个好问题。（上来就这么卖萌真的好吗！）

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Drude模型是固体物理最基本的模型之一，由德国物理学家P Drude在1900年提出。同志们，那是1900年，就在这一年的4月27日，我们伟大的开尔文勋爵说：“动力学理论认为热和光都是运动的方式，现在这一理论的优美和明晰，正被两朵乌云笼罩着。”是的，那个时候，相对论和量子力学还没出现，爱因斯坦和玻尔这两位巨人还是名不见经传的新人。然而就在经典力学的框架里，Paul Drude 提出了这个简单而又深刻的模型，在一定程度上成功的解释了金属导电的原理以及一系列相关问题。可惜Drude在这个理论提出6年后就去世了，没能来得及见证Drude模型在量子时代的发展。

Drude模型的基础是一个非常简单的想法：把金属中的电子看做气体。基于此，Drude提出了如下假设。

1. 金属由两部分组成，一是可以自由运动的电子，二是固定不动的离子实，这些可以自由运动的电子使金属导电的成分。
2. 将自由电子看做带电的小硬球，它们的运动遵循牛顿第二定律。在忽略电子-电子和电子-离子间电磁相互作用（内场）的情况下，它们在金属中运动或并发生碰撞。这一假设被称为独立自由电子气假设。事实上，后来的研究证明，忽略电子间的相互作用对实验结果影响并不大，但大多数情况下，电子-离子相互作用是不能忽略的。
   
3. Drude模型中的碰撞遵循经典碰撞模型，具有瞬时性的特点。事实上电子在金属中的散射机制非常复杂，但在此我们不考虑这些散射机制的详细原理，只关心电子会发生碰撞并在碰撞瞬间改变速度。接下来的两条假设将会更具体的对碰撞进行描述。
4. 假设电子在金属中的碰撞遵循泊松过程。每个电子在单位时间内碰撞的概率是，即在时间内发生碰撞的概率为，其中被称为弛豫时间（又叫平均自由时间），其意义是在任意一个粒子距离下一次碰撞（或上一次碰撞）发生的时间的平均值。这是Drude模型最中最重要的概念。
5. 假设电子只能通过碰撞才能与周围环境达到热平衡（事实上这也是自由独立粒子假设的必然结果），即是说每次碰撞的结果都是随机的，与碰撞前电子的状态没有任何关系，只于碰撞发生地点的温度有关。

以上就是Drude模型中的全部假设，简单漂亮有逻辑。但是光说不练假把式，下面就来以最基本的金属直流电阻为例来说明Drude模型的应用。

让我们先回顾欧姆定律：

其微观形式为：*,,其中为电阻率，为电导率，接下来就用Drude模型来解释电导率的意义。

假设某处电子密度为,平均运动速度为,那么显然电流和该处电子运动方向平行且相反，由电流的定义，我们可以写出：

无外场且热平衡时时，金属内的电子处处都在进行无规则的热运动，因此平均速度，

将外场添加进模型。考虑处于时刻0的一个电子，假设它距离上一次碰撞的时间为，初始速度为，由假设2，0时刻它的速度为.接下来我们对0时刻金属内所有的电子求平均，由假设5，的平均值为0，由假设4，的平均值为，因此速度的平均值，将该值代入中，得到。将该式与欧姆定律比较，可以得到：

哒哒哒，这样我们就用Drude模型把电导率的表达式推出来了。事实上，由于电阻率非常方便测量，我们大部分时候都是用上面这个公式 去求弛豫时间。

上面只是Drude模型最简单的一个应用，我们还可以用它去求霍尔效应系数，交流电阻等等问题，在准确性方面都有着不错的表现。这里不详细讨论，有兴趣的童鞋可以去看下面列出的参考文献。

*鉴于知乎蛋疼的公式编辑器，此处用上横线代表矢量，所有平均值均有说明。

参考文献：Neil W Ashcroft <Solid State Physics>

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PS：这题我是自问自答的，主要原因是我觉得现在知乎上自然科学领域类的问题普遍比较水，大量问题都集中在民科研究兴趣范围内，于是希望能有更多的人来分享相关领域的一些干货。二来也想借这种自问自答来梳理一下学习思路和知识体系。本人非大牛，只是普通物理系学生一枚，出错在所难免，还希望各位大神看到问题或答案后有任何想法能不吝赐教，本人在此先行谢过。如果效果不错以后我会继续采取这种形式来分享我的知识和学习结果。多谢您充满耐心看完这么一大段 : )