万有引力公式、库仑力公式中，「r → 0 时，F → ∞」违背了什么物理定义？ 第1页

我觉得这是个好问题. 我倾向于认为这是经典引力理论和经典静电学中的困难所在.

我们来考虑一个问题, 就是我们如何表达一个静电系统的相互作用能. 很明显, 它可以写作

(1)

注意到 , 我们有

分部积分一通,

(2)

看着好像没什么问题, 但是你仔细一想就会发现端倪: 被积函数是正定的! 积出来一定是正的!

那么这是为什么呢? 到底哪里出了问题?

问题就在于这些公式在有点电荷出现 (也就是 是 分布) 的情况就会 boom.

假如有点电荷出现, (1) 中的积分区域如果包含了点电荷的位置, 积分值就会 boom (因为会需要 这样的东西, 而 在 时趋于无穷).

另一方面, 如果有点电荷出现, (2) 中的积分区域无论是否包含点电荷的位置, 积分值都会 boom (因为 发散).

但是! 问题就在于如果有点电荷出现, 由 (2) 你还是可以获得一个看似有用的能量密度 (实则无用, 因为积出来发散). 那个看似有用的能量密度我们美其名曰点电荷的 "自能".

举个简单的例子. 假设空间中有两个点电荷, 则电场分布为

能量密度整一个

前两项很讨厌, 积出来是发散的. 你不喜欢, 然后就把它叫做 "自能". 最后一项, 你给它积一积, 嘿, 看上去不错:

(3)

那如果我要用 (1) 来算呢?

展开来会有 4 项, 其中有两项可以被当做 "自能" 扔掉 (积出来发散了), 另外两项积出来可以得到想要的结果 (3).

但是... 自说自话地把发散的东西称为 "自能" 然后扔掉真的没关系吗? 这听上去仿佛很掩耳盗铃, 毕竟如果没有点电荷的话就不需要 "自能" 这个概念了.

让我们回忆一下普通物理里面是怎么处理这个问题的. 电磁学课上老师告诉我们相互作用能里面每一项是电荷乘上除了这个电荷自己以外的电荷在此处产生的电势. 但是如果你看 (1) 式, 仿佛也没有刨除电荷自己产生的电势啊, 但老师会告诉你不刨除带来的影响为零, 所以就直接这么算了. 但为什么有 分布就又不行了呢?

那么其实如果要解决这个问题, 唯一的办法就是认为这是经典理论的困难之处. 解决它有两种方法.

1. 认为不存在离散分布的电荷, 并认为任何点电荷都只是一种近似. 这样我们就可以认为电荷分布不可能具有 分布的形式, 也就规避了上面的所有问题.
2. 认为不存在连续分布的电荷, 并认为任何连续分布的电荷都只是一种近似. 这样我们就可以认为严格来说上面所有的积分号都应写作求和号, 而计算相互作用能时可以直接放心地刨除电荷自己产生的势能为自己贡献的能量.

最后, 我应当指出, 经典理论的困难之处应当在经典电动力学课程的绪论阶段呈现. 这种批判式的思路值得同学们最先了解.