如何评价 2020 年阿里巴巴数学竞赛决赛试题？ 第1页

由于决赛时间是欧洲凌晨，未最终参赛，但看了题目，试解了一些分析试题，目前除了第13题加权形式的庞加莱不等式未能证出，其它题目都尚可解。总体来说，感觉题目考察较多偏微分方程的背景和实操经验，对于本科生和低年级研究生难度偏大。

下面进行分题点评：

第一题（题号11）：此题第一眼感觉应该考察调和函数平均值性质有关的应用，然而我在解题过程中，并不能轻松地得到这个方向的解答（希望高手赐教）。故本人采用了傅里叶变换的办法。观察到函数$g$满足的性质是平移不变的，从而通过对$x$进行Fourier变换将题设条件等价于一个$g$的傅里叶变换和球面元Fourier变换的关系. 进而通过解析函数的孤立零点性质得出$g$的傅里叶变换几乎处处为0，命题即可得证明。

第二题（题号12）：典型的椭圆型偏微分方程先验估计。此题涉及的椭圆方程的一个背景是欧氏空间中非线性薛定谔方程的孤立子(l'état fondamental)满足的方程。这种类型的孤立子在无穷远处是指数衰减的。出题人应该期望采用极大值原理处理该题目。我采用经典的能量方法能得到一个比题目要求更好的指数衰减。

第三题(题号13)：此题目前暂未解出，但背景很明确， 当权函数$kappa$ 为常数时，这就是

是经典的Poincaré-Wirtinger 不等式，而不等式右边的常数会依赖于区域（对于凸区域是直径），和等周不等式有密切联系. 此题的难点在于所出现的常数不能依赖于区域的几何参数，比如直径，或者体积的上界，而必须要用权函数的两个积分来表达，而权函数的正则性等其它信息很少，故直接使用庞加莱不等式的证明方法需要非常精巧的处理. 希望高手赐教.

第四题（题号14）:此题目考察薛定谔方程的色散现象. 题目结论告诉我们，在时间平均意义下，方程解所有的质量都跑到了$|x|>sqrt{t}$ 这个外区域，这正是色散性质的一种体现. 此题求解有多种方式， 比较快捷的是采用拟共性变换zoom时空变量来detect色散特征. 这种变换在质量临界半线性薛定谔方程的散射和爆破理论中是非常常用的. 由于方程完全线性，解有显式表达，故可以用更加初等的方法解决，但此题对于没有系统学习过色散偏微分方程的学生仍然有较大挑战。

第五题（题号15）此题背景与我的研究有一定相关，它是对Laplace算子高频本征函数集中特性研究的一个变形题。Laplace算子的本征函数是很多数学领域的研究对象，在维数大于2的环面上, Laplace算子特征函数的简并度很高，一个核心问题是，对于取特征值为k,k趋于无穷的正规化后的特征函数，它的渐近性态是什么？它可否集中于环面的某个小子集上（能观测性），它是否可以非常奇异地集中在一个低维子流形上面？它的$L^p$范数关于特征值的增长是什么？ 此题目选取了一个双曲算子而非Laplace问了其中一个问题. 我这里抛砖引玉，提供一个看似比较复杂，但在此类问题研究领域想法比较基本的解法: 首先，特征函数满足的方程告诉我们它的Fourier级数的支撑在双曲线$x^2-y^2=lambda$上面. 根据简单的计算，所需证明的不等式左边的平方可以化为这个函数Fourier级数相关的一个求和表达. 剩下的问题在于估计这个求和式子. 这个和式是Young卷积型(或者Schur)，涉及f的Fourier级数和一个Kernel K（m,n）, 关于这个kernel, 我们知道它是关于|n-m|的根号衰减，但这个衰减太弱，无法直接使用Young得到级数的收敛. 这就需要利用到一个关键的信息： 函数f 的Fourier 支撑为格点$Z^2$和双曲线$x^2-y^2=lambda$的交点. 这就告诉我们这些点不会很多！ 然而如何估计？这就需要充分利用双曲线和格点这两种简单代数结构，结合因数分解的divisor bound来处理. 所幸题目要求证明的不等式非常弱, 我们可以随手得到很粗糙的格点估计来完成证明. 此题目并不用到非常深刻的知识，即使不懂偏微分方程，只需要知道Fourier变换，高中解析几何和一点初等数论就有完成的知识背景，然而难度对于没有科研经验的本科生相对较大. 同样，这里的点评仅是抛砖引玉，等待大神给出更多更好的解法，共同提高进步！

最后，给出本人提供的四道题目解法：