可以为 2020 年高考生预测一道数学题吗？ 第1页

如果你在即将高考时看到了这个，请把它划过去。难题不是这时候需要的东西。

对于普通玩家而言好好刷题总结套路就行；然而对于高阶玩家，如果分数在135上下的范围游弋，想要做得更好，鉴于现在高考题整活的趋势，应该做的是尽量打开脑洞，不被定式束缚。

顺便说，直球押题无意义，见更多新题目才是需要做的事情。

占个坑，如果有时间的话会写一点自编题目上来。

1.一道可爱的填空题

颜文字是网友们喜闻乐见的表达情绪的方式。在颜文字(｡･ω･｡)ﾉ♡中有 个符号，它们一共能够排列出_________种字符串。

2.简单的选择题

有一位数学家对虚数作出了如下的有趣解释：从 到 是 所在的点逆时针转了 ，转 又回到原来的 。那么逆时针转 是什么呢？我们把它命名为 (imaginary的首字母)，对应的方向画一条轴线叫做虚轴，复数的体系就这么建立起来了。按照此种理解， 是

A. 所在的点逆时针转了

B. 所在的点逆时针转了

C. 所在的点逆时针转了

D. 所在的点逆时针转了

3.填空题

图灵机是一种由数学家、计算机鼻祖图灵构想的概念机器。这个机器由三个部分组成：

a.一条向右端无限延伸的纸带，被划分成大小相同的无数个格子，最开始是空的；

b.一个读写头，可以读取当前位置格子里的符号，并按照某些规则改变格子里的符号，最开始在最左边的格子位置；

c.一套控制规则，根据机器现在的状态(由状态寄存器存储)和读写头位置处的符号作出行动(左/右移动读写头以及改变符号两种命令)。

比如：要打印 (无限个)可以采用如下的控制规则：(1)如果读写头左边没有格子，在此处打印 并右移；(2)如果读写头处是空的，左移并检查读写头下面的符号，如果是 则右移并打印 ，然后再次右移；如果是 则右移并打印 ，然后再次右移。

现在需要用图灵机打印 在二进制下的表示。假设图灵机只能打印符号 和 以及小数点 ，请设计这个图灵机的控制规则________________________________________________________。

4.时事填空题

较为简单的传染病传播模型是 模型。在这个模型中， 分别代表健康人数与被感染人数是时间的函数， 是总人口为常数。这两个函数满足下面的关系：

，

其中 分别是称为传染率和康复率的常数， 。在这个模型中，感染人数增长最快时 ________。

5.立体几何填空题

设直线 平面 ，垂足为 。动长方体 满足条件：

(1) ；

(2) 。

则 长度的最大值为__________。

6.选择题

设函数 满足 ，且 等于 的值域中 出现的次数。则这样的函数一共有多少个？

A.

B.

C.

D.

7.填空题

设 表示正数 的整数部分的位数。下面的命题正确的有___________。

(1) ；

(2) ；

(3)对任意正数 ，如果 ，则对任意 有 ；

(4) 。

8.时事填空题

近期美国的黑人死亡事件引起了新一轮抗议活动，“I can't breathe”警醒我们人类离消除种族歧视还有很长一段路要走。假设有 位法官对事件中的暴力执法警察进行审判。每位法官作出有罪判定的概率都为 ，结果少数服从多数。已知正好有 位法官意见统一。如果要使得该警察脱罪的概率小于 ，求 满足的条件____________。

9.概率解答题(生物学梦幻联动)

生物学中有估计动物种群密度(种群动物个数除以地区面积)的标志重捕法：一个地区有 个某种动物，生物学家为了获得 的估计，在此地区捉住 只动物，做标记后放走。一段较长时间后，再捉住 只动物，发现其中做标记的有 只。那么生物学家作出 的估计( 表示整数部分)。

(1)一公顷( )土地上，第一次捕获并标记了 只鼠，第二次捕获 只鼠，有标记的为 只，计算该土地上鼠的种群密度(单位： ，保留三位有效数字)。

(2)验证这种方法的合理性。假设标记前后动物被捉住的概率不变，且每只动物被捉住的概率相同。用随机变量 表示第二次捕捉中做了标记的动物个数。证明：当 时 达到最大值，并简要叙述标志重捕法的合理性。

(3)实际情况下动物标记后会更加警觉，假设标记后它们被捉住的概率由 下降到 。在同样的假设下，求 的数学期望(不要求化简)。

10.导数题

设 上的二阶可导函数 满足 。

(1)证明： ；

(2)证明： 为某个常数，并求 ；

(3)设 ，且 有最大值 ，证明 。

11.导数题

设函数 。

(1)如果 恒成立，求 的取值范围；

(2)设数列 满足 ， 。证明： 。

12.填空题

设 为一个有 个元素的集合， 是 的所有子集组成的集合。从 中任选一个集合，设 是它的元素个数。则 的数学期望为__________。

随缘更新。大家觉得哪些题有用就做做试试看吧，可以向我要答案。

第九题答案：

(1) 只 。

(2) 。把这个式子记为 ，计算得

。

上述比值不小于 等价于

，

等价于 。由于 是整数，等价于 。从而 先增大后减小，在 取到最大值。由于在这时候捉到 个做标记动物的概率最大，所以 作为种群个数的估计值是最合适的。

(3)用事件 表示“成功捉到 只动物”， 表示“成功捉到 只且其中有 只做标记”。由条件概率

。

注意到 ，且

，

(因为捉住 只，其中可能有 只有标记)

所以 。(可以不用求和号而用省略号表示)

第十题答案：

这个函数的原型是 。

(1)条件的式子对 求导： ，对 求导： 。两式相减：

。

令 得 。

(2)条件分别对 求二阶导数：

。

由于 是任意的，令 得 ，也就得到结果。令 得到 。而在条件式中令 得 ，而 ，所以 。从而 。

(3)由(2)的结论得 。条件式分别对 求导(一共两次)得

。

这样：

从而

最后一步用到绝对值不等式。

第十一题答案：

(1) 。

(2)容易证明 是递增数列。然后计算 ，就得到左边的结果。下面证右边。我们有

也就是 。

由(1)的结论以及不等式 得

累加求和：

。

两边去掉对数就得到结果。

第十二题答案：注意到

，

我们有 。这个求和可以这样计算：

，

聪 明 的 高 斯

所以 。所以 。

还有一种形象的理解方法：每一个 的子集都可以与它的补集配对，所以是对称的，期望就是平均值。

回答更新：

赞同 @inversioner 的说法，做N多烂大街的押题是没有用的，尤其是那些只是换了题干的题目，应该要见多一些自己从没见过的‘新题’，而且思考方式也应该发生变化，学数学不是说做出一些个数学题就好了，而是应该掌握各种论证过程，甚至思考方式. （例如，证明一个任意性的命题，不是说证存在性就够了。许多秒杀技巧就是那些特殊值法，只能说明存在一个函数/数列, etc, 使得那个命题成立；当然如果要证明一个任意性的命题不成立，那举个反例即可）

押题总是押那些烂大街的集合复数确实没什么用，如某些回答说‘押题可太蠢了’，提升自己硬实力才是关键，建议同学们不要把希望寄托于各种押题卷.

像高赞回答的评论区还有这里某个回答，有人连线性规划和统计里面的线性回归都分不清楚，你说这个状态怎么参加高考？这就是没有实力却想寄希望于押题卷的体现.

原回答：

好久不看高考题了，那就分享一些（可能）有高等背景的改编题吧（可能会超纲）

收藏的同时记得点赞哦~

首先，根据2019年的情况，2020年高考要做好面对“换了个碗”题目的准备，而模拟题大多都是在炒冷饭，所以还是有必要刷往年高考题（往年高考题有一部分其实放在现在也挺新的），当然也要求老师有一点品味，能找到提高同学们数学水平（而不是提高刷题经验）的题目.

我相信下面的几个题的设问方式（例如元胞自动机、分形、第19题这三题），或者题型（例如概率的那个构造题），同学们应该都没见过，如果同学们有需要，可以拿来练练手，体验一下什么叫沸羊羊的感觉。

说明：

(1)第5题就是蒙娜丽莎这幅画的另一个恶搞. 没想到我一年前瞎恶搞的题现在被广泛流传……

(2)第9题灵感来源于哈佛-MIT的竞赛题
(3)第10题灵感来源于元胞自动机，纪念不久前刚刚去世的John H Conway.
(4)第18题蹭一下摆摊的热度.
(5)第12题是我在知乎的一个回答，顺便看看同学们有没有举反例的能力.

(6)第13题灵感来源于2019北京高考第8题，让大家感受一下数学之美.
(7)第19题我也不知道灵感来源于哪里, 可能灵感来源于ODE?

附：我的一些能帮到大家的高考类的回答/文章

Fiddie：对高考模拟题的一些看法

Fiddie：自编高考试题(4)——2020新高考数学模拟题!

Fiddie的回答：山东省2020高考模考数学压轴题母题是哪个题？

Fiddie的回答：如何看待每年高考前都有很多“高三如何逆袭”这类的问题？

【答案】