在信号与系统这门课中，为什么要引入卷积运算，有什么好处？ 第1页

为了将信号拆解成冲激函数，这个过程会自然而然把信号拆解成冲激函数与信号的卷积。

这样拆解后，经过一个LTI系统时，信号的响应，就可以看成冲激函数的响应和信号的卷积。

也就是说，你大可不必去研究一地信号对于你的LTI系统的响应。而只要先研究系统的冲激响应，再把这个响应和信号作卷积，就会得到这个信号的响应。

为的就是实现这样一个研究思路。

卷积从卷积和开始讲，可能是比较显而易见的

考虑一下，假如你手头上现在有这么个玩意

给它起个名字叫 ，它的大小是1

而你要通过它画这么个玩意

很容易想到的一个办法，就是把它向右偏移两格，再扯一扯变大。

向右偏移两格：

再扯一扯，假如是扯大3倍，那就是：

这就画出来了。

再想想假如你要画这么个东西

那就也用同样的方法，先画一个 ，再画一个

再加起来变成 ，也画完了

更广泛地，对于任意一个点，假如它和0点的距离为 ，它的大小是

那么就可以通过偏移 个距离：

再缩放 倍：

来复现。

而对于全部数据，只要把每一个 都加起来，就可以进行复原。

也就是

这么个操作来复原所有数据。

而这个等式比较学术一点的名字，就叫卷积和。

对于连续变量也是类似的。

你手头上有个类似性质的冲激函数 ，你有一个函数

对于任意t时刻，假如这个时刻距离原点的距离为 ，大小为

那么每一个微时刻的大小 都可以被还原为

而整个函数就可以这样还原：

总的来说，就是把信号拆解成延迟了不同时刻、不同大小的冲激函数的总和。

对于一个时不变系统来说，相同的信号，延迟了一段时间再输入，响应就延迟相同的时间，并且形状是不变的。

对于一个线性系统来说，几个信号叠加在一起经过这个系统时，在一个时刻的响应，可以拆解成每个信号在这个时刻单独的响应的叠加

因此，经过这样的拆解，通过一个LIT(线性时不变)系统后，信号的响应可以看成是延迟了不同时刻、不同大小的冲激函数的响应的叠加，也就是信号和冲激响应的卷积。

假如冲激函数 经过LTI系统的响应为

那么，在一小段时刻内，延迟且伸缩过后的 ，响应就是

继而信号经过LTI系统的响应 就可以视作

意味着对于LTI系统，只要知道冲激响应 ，那么任何信号的响应，都只需要将冲激响应和该信号作卷积即可得到。