傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？第1页

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作为一个资深信号狗,必须强答一波这个问题,想当年也是被一堆变换公式折磨的要死要活的,多年过去了,用的多了发现也就是那么回事,尽管其内部的数学推论是复杂的(其实也就那样),但真的要说,仍然可以用最简单的几句话和最通俗易懂的语言把它的原理和作用讲清楚.

既然要讲,我就从最基础的东西开始说一说,首先我们先来认识下三角函数,要说三角函数这个东西,我们首先要来说说弧度,什么是弧度呢,你可以在纸上画一个圆,选取圆的一段边,边长和这个圆半径的比值,就是该边与圆心对应夹角的弧度,不好理解是不是,没关系,看个图你就懂了

弧度的单位是rad,你会发现,所有的圆边长和半径的比值都是2πRad,而π是一个无限不循环的常数,它约等于3.1415926,可以发现弧度和角度是一个对应的关系,如果按角度制而言绕圆一周是360°,弧度制而言,就是2π了

现在,我们引入另一个在信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角三角密切相关

三角函数又常常叫正弦函数常用的主要有sin和cos两种,在高中的书本上,常常叫它们正弦函数和余弦函数,但实际在使用中,不管是sin还是cos都常常被统称为正弦函数,看上面的直角三角形, 以sin函数为例,关于这个函数的求法,可以用下面的公式来表述

也就是说sin角a的值,等于其对应直角三角形的对边比斜边,实际上我们常常用来表示这个正弦函数,而则表示某一弧度,如果你把这个三角形画在一个二维坐标系的圆上面,比如下面的这种形式

那么 ,当然,这个时候,正弦值还仅仅是一个"正弦值",现在你可以开始想象假如圆上的这个点现在开始动了起来,并开始绕圆逆时针旋转, 的值会如何变化呢?下面的图会告诉你答案

显然的,当我们引入动态的概念后,正弦函数随之而动,从一个定值变成了一个波,在信号处理中,我们称之为正弦波,高中的课本会告诉你正弦函数的性质和和差化积积化和差之类的公式,而我会告诉你正弦函数和其所对应的正弦波估计是信号处理中最重要最常用没有之一的重要工具

到这里既然我们说到波了,那么就不得不提几个问题和其对应的概念,现在你再看看上图,如果我们需要描述一个正弦波是不是需要下面几个问题,而这个问题的答案,对应了几个概念

这个点围绕的圆到底有多大---->波幅
这个点旋转的速度有多快---->角速度--->频率
这个点最初的位置在哪里---->相位

当然,如果我们描述正弦波只能用上面的文字来说,未免显得不够专业,于是乎,我们用一个更加通用的公式来描述正弦波

其中,A表示振福,A越大,振福越大.

表示角速度,当然,角速度和频率是对应关系,所以信号处理中常常也用角频率这种俗语来描述

表示相位,sin和cos两个正弦函数的差别其实也仅仅是相位不同

是这个正弦波的偏移,你可以理解为这个波在y轴上如何的上下移动,在信号处理中,这个会被统一到直流分量中(频率为0的波的波幅)

科普完上面的概念之后,要说傅里叶变换是怎么回事其实已经很容易了,现在我们来看傅里叶说过的一句话

“任何”周期信号都可以用一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。

我们先不讨论这句话的适用条件(狄里赫利条件),这句话简直牛逼大了,这表示下面这些信号

全部可以用下面这个式子来表示

(式1.0)

如果看不明白没关系,下面这张图能让你看个清楚,如何用正弦波组成一个近似的方波

那么,有什么意义呢,要知道,如果可以将信号分解为正弦函数的累加和,不就等于知道了这个信号是由哪些频率的正弦波构成了的么,同时,我们还能知道对应频率的波在信号中的能量和相位信息.

举个很简单的声学例子,如果我们直接看一段声音信号的波形图,我们很难看出他是男声还是女声(别说男声的嗓门比较大波幅宽,河东狮吼了解下)但是从频域中我们就能够很容易分辨出来,毕竟女声的频域中,高频的能量占比会比较高

再举个很简单的图形学例子,如果把一张图像做频域分析,图像的低频代表着轮廓信息,高频代表着细节信息,相位代表位置信息,你要是想让图像变模糊,简单,把高频的能量压下来就行了,想让图像变尖锐,高频能量加上去就行了.

那么问题又来了,已知 ,我们如何把它分解为

的形式呢,实际上傅里叶变换需要解决的就是这一点,它的最终目的就是要将信号分解为上面这样的形式,好让我们把不同频率的正弦波信息给剥离出来

要说这个,我们就不得不谈谈三角函数的正交性了,

首先我们知道,对正弦波正无穷到负无穷内进行积分,其结果必定是0(主值积分，取周期)

所以根据三角函数的积化和差公式,下面的推论都是成立的

这导致了一个很重要的概念

不同频率的正弦波相乘,对其周期积分后,其结果是0!

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(我知道有人肯定会说,作者你胡说八道, 怎么会是0,老师告诉我它明明是发散的,你又忽悠我,关于这点我要说明一下,首先你的老师没说错,不过我也没有忽悠你,首先在大学高数求极限那些知识中,这个函数确实积分后是发散的,这个发散的具体原因是建立在这种情况下的,也就是我们正常说的无穷积分,但是如果按这种玩法,基本上大半的信号处理函数都没法玩了,因此在信号处理的公式中比如傅里叶变换,默认都以柯西主值积分作为钦定的积分方式,打个比方定义 , 这种情况下,负无穷到正无穷的积分不就是0了么,所以这里我说明一下,傅里叶变换中使用的是柯西主值积分,整个无穷区间取周期倍)

=======================================================

这个概念我们又叫做波的相干性,比如给你一段信号,问你信号里有没有100HZ频率的正弦波信号,怎么办?简单,把这个信号和100hz的正弦波信号相乘（准确说是一组正交的基底，傅里叶变换中就是一个一个）,然后对其周期内积分,如果结果不是0,那么这个信号就含有100HZ的信号

那么剩下的问题就是如何求得该频率正弦波对应的幅度和相位了,实际上就是求式1.0的和下面我要甩点公式了,如果感到不适,可以选择跳过

利用三角函数的变换公式，(式1.0)可变形为

设 , 那么，上式变为

现在，让我们正式的引入正交性的性质，还记得检波手段么，这里，我们假设对用进行检波(说人话就是乘起来,然后为了方便计算对其在一个周期内积分)，那么就有

假设f(x)中含有角频率的正弦波系数为，那么根据三角函数的正交性，上式就有

为什么会这样?你想啊,别的频率的波积分后全变0了,不就是剩下( )频率一样的情况了么.因此

进一步计算，可得

同样，也可以使用相同的方式进行推导

因此，通过我们可以知道这个波的波幅与相位：

好了,这个基本就是傅里叶变换中最核心的傅里叶级数了

不是很复杂吧,你是不是很疑惑,为什么长得和傅里叶变换的标准公式差的有点多呢,标准公式不是长得是这样么:

没关系,看看我们的欧拉公式

然后把欧拉公式代入傅里叶变换

你看,最终还不是换汤不换药,无非就是多了个复数,这个复数其实没有别的其它意义,作用就是在计算中和cos区分开来,扯到复平面上绕圈圈?没必要!

现在傅里叶变换讲完了,我们来看看拉普拉斯变换

真的,傅里叶搞懂了拉普拉斯变换基本上一句话就能讲完,如果不扯点傅里叶变换的东西,我估计会因为回答问题过于简短待会答案都被折叠了

先看看拉普拉斯变换公式

这搞毛呢,不就是傅里叶变换的公式乘以一个么,只要搞懂为什么要这么干,我们就能理解拉普拉斯变换了

我们来看看下面这个信号图

是的,这个信号的毛病在于,他已经上天了,是的,它增长的速度太快了,而我们却要使用不能够"上天"的正弦函数去拟合它,这不是为难我胖虎么,这个时候,我们就得想起一句名言,要么解决问题,要么解决制造问题的人(信号),既然傅里叶变换无法制造一个同样上天的正弦信号来拟合,我们就把它原本的信号"掰弯",那么如何"掰弯"呢,简单,乘以一个就行了

然后图像就变成了这样

你看,这不就皆大欢喜了么,搞来搞去,拉普拉斯变换的意义无非就是把那些想要上天的函数掰弯,好最终变成那种适合做变换的函数,但是掰弯听起来不太专业,所以我们又管叫衰减因子

好了,现在能解决的信号我们有傅里叶变换解决了,不能解决的信号有拉普拉斯变换解决了,感觉上是不是皆大欢喜,写个软件跑跑看呗

这时你一拍脑袋!不好,信号是连续的,而计算机上存储的数据是离散的,这可咋办好,没关系,我们可以这样,每隔一小段距离,取一个点,最后用的时候把这些点连起来,不就能变成原来的的信号了么,当然我们还得研究研究,这个一小段距离究竟得多小,才不至于让原信号失真,这个就得参考参考香农采样定律了

好的,现在我们把连续的信号换一下,换成离散的"点",首先积分是不能用了,既然换成离散的了,积分对应的就应该变成累加符号 ,当然, 也是不能用了,这是一个连续信号的写法,而离散的一个一个的点得换成 ,其中的n表示第n个点,实际上就是时间变来的,当然也不能用了,你想啊,我们要具体到某个点,这个点怎么表示,当然了,首先把时间换成索引号,然后这个动态的角速度值换成具体的角度

好了,我们终于把连续信号的傅里叶变换变成了离散信号的傅里叶变换,写写看

令得到

哎呀,一不小心把Z变换的公式也写出来了,原来搞了半天,不就是傅里叶变换的离散形式么.

最后总结一下

数学分析工具就是这样,当出现解决不了的问题之后,随之就会出现改进的方案,我们可以说,拉普拉斯变换是为了解决一些"太飘了"或者专业说法叫不收敛的信号,而z变换则用于解决了信号的存储和编码问题,那么,那么还有没有别的问题?

有的,从时域到频域,频域的时间信息消失了,你有没觉得之前我们分析的信号都太理想化了,现实中的信号往往随着时间而变化并非一成不变的,比如一辆车向你开来然后远去,你会听到声音从尖锐逐渐变得浑浊,这是多普勒效应造成的,而你收到的声音信号也由高频逐渐变为低频,而傅里叶变换只能告诉你信号中存在某种频率的信号,但却不能告诉你这个频率的信号是在什么时候出现的.它可能一直存在,或者只存在前半段信号里,可能存在后半段信号里.或者别的区间.

这个时候,又出现了傅里叶变换的改进版本,叫短时傅里叶变换.简单来说就是一段信号,假如这个信号长度是1秒,那么就每隔0.1秒就做一次傅里叶变换,总共做10次,这样,第一个变换的结果对应0-0.1s的信号频谱,第二个变换结果对应0.1-0.2s的信号频谱

虽然短时傅里叶提供了一个粗糙版本的方案把时间的概念引入频域,但无法解决信号拟合的问题,我们使用正弦波去拟合方波,我们就需要用无穷多个不同频率的正弦波去拟合以抵消时频间的能量差异,简单来说,一个方波我们用正弦波去拟合,最终会拟合成这个样子(吉布斯现象)

为了解决上面两个问题,小波变换诞生了,要使用小波变换,在进行变换前首先需要挑选合适的母小波(也常常叫基波函数,以前实验室里经常被用来调侃:喲,你搞个基波啊),然后通过对母小波的平移和缩放,最终去拟合原信号,在平移的过程中,最终也把时间信息带入了频域(小波域)中,同时不同的母小波也更好解决了信号的拟合问题,当然,大多小波变换的核心原理,最终和傅里叶变换一样,利用了正交性来检波(有的基波没有正交性,例如morlet和mexican hat,这类小波在用于离散小波变换时有限制性)

那么如何挑选母小波呢?不用担心,数学大佬们为我们总结了一堆好用的母小波,按照响应的情况挑选就行了

什么,太简略了不过瘾?下面的文章带你从三角函数推导到傅里叶变换再到实际应用做出实际功能产品,包你看个爽

什么?光说不练假把式,来!使用傅里叶变换制作变声器/频域隐水印:

references:

奥本海姆大佬<<信号与系统>> <<离散时间信号处理>> 大佬是我心中永远的神

<<小波十讲>>他们说这本书是本好书,可惜我真没几章看的懂

<<数字语音处理理论与应用>> 声控福利,宅男必备,论如何秒变萝莉音忽悠沙雕网友

norbear 网友的相关建议:

第一次回答一个跟自己的专业相关的题目。

首先，为什么要进行变换？因为很多时候，频率域比时域直观得多。

傅里叶级数和傅里叶变换，表明时域的信号可以分解为不同频率的正弦波的叠加。而如果我们把两个没有公共频率成分的信号相加，一同发送。在接收端接收到之后，用滤波器把两个信号分开，就可以还原出发送的两个信号。这就是通信过程的实质。

而在这个过程中，发送端发送出去的信号的最大频率和最小频率是否在接收端的带通滤波器的上下边界频率之内？如果超出了滤波器的频率范围，接收端接收到的信号就会丢失一部分信息，接收端接收到的消息就会有错误。
但这个问题从时域是很难看出来的，不过，从频率域就一目了然。

因此傅里叶变换得到了广泛应用，它的地位也非常重要。

然而，可以进行傅里叶变换的信号似乎不那么够用，傅里叶变换的收敛有一个狄利克雷条件，要求信号绝对可积/绝对可和。
为了使不满足这一条件的信号，也能读出它的“频率”，拉普拉斯变换和Z变换，对“频率”的含义做出了扩充，使得大多数有用信号都具有了对应的“频率”域表达式，方便了对各个器件的设计。

这里，我们并不是通过拉氏变换和Z变换获取不满足狄利克雷条件的函数的傅氏变换。事实上由于收敛域的问题，这些函数的傅氏变换是不收敛的，即使通过拉氏变换和Z变换也不可能获得这些函数的傅氏变换。

拉氏变换和Z变换的意义，是将频率域的某些限制条件A，转化为复频率域中与之等价的相应条件A'，然后在复频域内直接观察信号或系统的拉氏变换或Z变换，看X(s)或X(z)是否满足条件A'，得到相应的结论。用这个结论代替傅里叶变换的结论（因为傅里叶变换不存在，无法得出结论）。

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接下来一个问题，傅氏变换、拉氏变换、Z变换之间到底有什么关系？

首先，傅里叶变换粗略分来包括连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）。
CTFT是将连续时间信号变换到频域，将频率的含义扩充之后，就得到拉普拉斯变换。
DTFT是将离散时间信号变换到频域，将频率的含义扩充之后，就得到Z变换。

这里解释一下，很多教材对于频率的含义没有明确规定，由于CTFT和DTFT的形式分别为和，因此很多人误将频率理解为和。
但事实上我们在绘制频谱图的时候，取的自变量都是，这样才能画出函数图像。否则CTFT和DTFT都将变成复平面上变化的函数，无法画出函数图像了。
而且我们日常用到频率这一概念时所说的，都是 .其对应的角频率恰恰是实数，而不是复数或。
因此，我们所说的频率指的应当是而不是或。

1、连续时间傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系
连续时间傅里叶变换的公式是：，这里的是实数。
傅里叶变换要求时域信号绝对可积，即。
为了让不符合这个条件的信号，也能变换到频率域，我们给x(t)乘上一个指数函数，为（满足收敛域的）任意实数。
可以发现，这个函数，就满足了绝对可积的条件，即。

关于为什么满足绝对可积条件，这里提一下，感性地说，我们知道负指数函数随t的增大，趋于零的速度是所有函数中最快的，这也是为什么我们描述某个现象暴涨的时候会说指数上升。因此大多数一般的函数乘上某个负指数函数之后，一定绝对可积。
用更加严谨的数学表达，对于大多数，，使得是的高阶无穷小。即。因此在的压迫下，就满足了绝对可积的条件。后文DTFT中的绝对可和条件与此类似，后文不再赘述。

于是这个新函数的傅立叶变换就是：，
化简得。
显然是一个复数，我们把这个复数定义为一个新的变量——复频率，记为s。
于是便得到了拉普拉斯变换的公式：

拉普拉斯变换解决了不满足绝对可积条件的连续信号，变换到频率域的问题，同时也对“频率”的定义进行了扩充。
所以拉普拉斯变换与连续时间傅里叶变换的关系是：
拉普拉斯变换将频率从实数推广为复数，因而傅里叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例。
当s为纯虚数时，x(t)的拉普拉斯变换，即为x(t)的傅里叶变换。

从图像的角度来说，拉普拉斯变换得到的频谱是一个复平面上的函数，（为方便作图，这里只给出了拉氏变换的幅度谱和傅氏变换的幅度谱的关系。相位谱具有类似的关系。）

而傅里叶变换得到的频谱，则是从虚轴上切一刀，得到的函数的剖面。

2、离散时间傅里叶变换（DTFT）与Z变换的关系
DTFT的公式是，这里的是连续变化的实数。
同样的，DTFT需要满足绝对可和的条件，即。
为了让不满足绝对可和条件的函数x[n]，也能变换到频率域，我们乘一个指数函数，为（满足收敛域的）任意实数。
则函数的DTFT为：，
化简得：
显然，是一个极坐标形式的复数，我们把这个复数定义为离散信号的复频率，记为z。
则得到Z变换的公式：。

关于这里为什么对x[n]乘以而不是像拉氏变换中乘以，主要是由离散序列的DTFT的周期性决定的。如果对离散序列进行拉氏变换，将映射到虚轴上，则得到的变换函数是在虚轴方向上周期变化的函数，这样就没有充分利用DTFT的周期性。
而Z变换令，则当a=1，即时，随着从向变化，z在复平面中的单位圆上以为周期变化，如此恰能充分利用DTFT的周期性进一步简化我们的计算。

Z变换解决了不满足绝对可和条件的离散信号，变换到频率域的问题，同时也同样对“频率”的定义进行了扩充。
所以Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）的关系是：
Z变换将频率从实数推广为复数，因而DTFT变成了Z变换的一个特例。
当z的模为1时，x[n]的Z变换即为x[n]的DTFT。

从图像的角度来说，Z变换得到的频谱，是一个复平面上的函数，而DTFT得到的频谱，则是沿着单位圆切一刀，得到的函数的剖面，从负实轴切断展开的图像。（为方便作图，这里只给出了Z变换的幅度谱和傅氏变换的幅度谱的关系。相位谱具有类似的关系。）

感谢评论区 @蔡世勋提供的图片。

komputon 网友的相关建议:

看到这个问题非常有趣，也有价值，前面各位大神回答都非常非常好，自己也将自己的理解整理一下，并分享出来，文中如有错误，也请指正。希望通过这种方式让自己的理解能尽量准确、深刻。

要理解三种变换的联系区别，首先要理解什么是数学变换，什么是积分变换。傅立叶变换以及拉普拉斯变换本质上都是积分变换，而傅立叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式，而Z变换是拉普拉斯变换的离散形式。每种变换都有其应用价值，傅立叶变换在信号处理的频域分析中提供了强大的数学工具，而拉普拉斯变换在电子学、控制工程、航空航天等领域提供了建模、分析的数学分析工具；Z变换则将这些变换进而落地为数字实现提供数学理论依据。DFT为FFT的离散化形式，而FFT是DFT的算法优化实现。。绘制了一个自己理解的关系图如下，如不严谨，求轻拍～～

什么是数学变换？

要理解这些变换，首先需要理解什么是数学变换！如果不理解什么是数学变换的概念，那么其他的概念我觉得也没有理解。

数学上的变换是指数学函数从原向量空间变换为自身向量空间，或另一个向量空间，或对于集合X到其自身（比如线性变换）或从X到另一个集合Y的可逆函数。比如：

旋转变换

镜像变换（Reflection）

平移变换

数学中还有很多数学变换，其本质都可以看成是将函数f(x)利用变换因子进行的一种数学映射，其变换结果其函数的自变量有可能还是原来的几何空间，或许会变成其他的向量空间，比如傅立叶变换就从时域变换为频域。

而傅立叶变换与拉普拉斯变换本质上都是对连续函数的一种积分变换，那么什么是积分变换呢？

什么是积分变换？

积分变换通过积分将一个函数从其原始函数空间映射到另一个函数空间，其中原始函数的某些属性可能比原始函数空间更容易表征和操作。通常可以使用逆变换将变换后的函数映射回到原始函数空间，这样的变换是可逆变换。

通常积分变换，假定对于函数为自变量t的函数f(t)，都类似具有以下的范式：

函数f(t)是该变换的输入，(Tf)(u)为变换的输出，因此积分变换一般也称为一种特定的数学运算符。而函数K(t,u)称为积分核函数(kernel function)。

这里有一个概念，对称核函数，是什么意思呢？就是将函数K的两个自变量交换位置仍然相等：

有的变换可逆，这是什么概念呢？就是变换后通过逆变换，还能还原！

观察正变换与逆变换，会发现：

核函数刚好两个自变量交换位置
正变换是对原函数f(t)在时间维度上进行积分
逆变换是在变换后的函数在u维度上进行积分

什么是傅立叶级数？

在谈傅立叶变换之前，先谈谈傅立叶级数，会更容易理解傅立叶变换。在数学中，傅里叶级数（Fourier series）是把类似波的函数表示成简单正弦波的方式。更正式地说法是，它能将任何周期性函数或周期信号分解成一个（可能由无穷个元素组成的）简单振荡函数的集合，即正弦函数和余弦函数（或者，等价地使用复指数），从数学的定义来看，是这样地：

设x(t)是一周期信号,其周期为T。若f(t)在一个周期的能量是有限的，有即

则，可以将f(t)展开为傅立叶级数。怎么展呢？计算如下：

而傅立叶级数的系数由下式计算：

对于f(t),利用欧拉公式还可以写成正弦函数与余弦函数的和，这里就不写了。欧拉公式如下：

公式中的k表示第k次谐波，这是个什么概念呢？不容易理解，看下对于一个方波的前4次谐波合成动图就比较好理解了。这里的合成的概念是时域上的叠加的概念，图片来源wikipedia

从上图可以直观看出，周期性方波，可以看成多次谐波的线性叠加，其幅度谱图，是一根根离散的谱线，且幅度值越来越低，从这个角度可以看出高次谐波的分量，占比越来越小。其谱线的位置为：

第一根为：
第二根为：
第n根为：

其谱线的间隔为

应用：这里可以联想到我们的电子系统中的时钟信号，做硬件的朋友或有经验，在做EMC的辐射测试时，发现电路板在某些频点超标，有经验的同学会很快定位到辐射源。其实这里就是因为周期性的时钟信号，从频率的角度可以看成是其基频的多次谐波的线性叠加，而某个谐波分量在电路线路尺寸满足辐射条件时，就从电路板上脱逸而出，变为电磁波能量向空间传播。所以反向去查该频率的基频就能很快定位到辐射源，从而解决问题。

说到傅立叶级数是周期性信号可以用傅立叶级数展开，那么是不是任一周期性信号都可以进行傅立叶级数展开呢？答案是否定的，必须满足著名的“狄利克雷(Dirichlet)条件”：

在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目需要时有限个数
在一周期内，极大值和极小值的数目是有限个数的
在一周期内，信号或者函数是绝对可积分的。见前文公式。

什么是傅立叶变换？

前面说了傅立叶级数，接下来在看傅立叶变换。傅立叶变换之所以称为傅立叶变换，是由于1822年，法国数学家傅立叶(J.Fourier) 在研究热传导理论时首次证明了将周期函数展开为傅立叶级数的理论，并进而不断发展成为一个有力的分析工具。

假定周期性信号T逐渐变大，则谱线间间隔将逐渐变小，如果外推周期T无限放大，变成无穷大，则信号或者函数就变成非周期信号或函数了，此时谱线就变成连续的了，而非一根一根离散的谱线！那么傅立叶变换正是这种一般性的数学定义：

对于连续时间信号f(t)，若f(t)在时间维度上可积分，（实际上并不一定是时间t维度，这里可以是任意维度，只需在对应维度空间可积分即可），即：

那么，x(t)的傅立叶变换存在，且其计算式为：

其反变换为：

前文说傅立叶变换本质上也是一种连续函数的积分变换，那么从上面公式，可以看出傅立叶变换的核函数为：

其核函数的两个自变量为t, ，对于一般称为角速度，是表征频率空间的。

上面这两个公式是啥意思呢？在度量空间可积可以理解成其在度量空间能量有限，也即对其自变量积分（相当于求面积)是一个确定值，那么这样的函数或者信号就可以进行傅立叶变换展开，展开得到的就变成是频域的函数了，如果对频率将函数值绘制出曲线就是我们所说的频谱图，而其反变换就比较好理解了，如果我们知道一个信号或者函数谱密度函数，就可以对应还原出其时域的函数，也能绘制出时域的波形图。

傅立叶变换公式，从理解的角度，可以看成无限多无穷小的能量之和，而傅立叶级数也是各谐波分量的加和，所不同的是，前者相对于频率变量是连续的，而后者相对于频率则是离散的！

当然，本文限定讨论时域信号是因为我们电子系统中的应用最为普遍的就是一个时域信号，当然推而广之，其他的多维度信号也能利用上面定义进行推广，同样在多维空间信号也非常有应用价值，比如2维图像处理等等。

傅立叶级数与变换的区别？

傅立叶级数对应的是周期信号，而傅立叶变换则对应的是一个时间连续可积信号（不一定是周期信号）
傅立叶级数要求信号在一个周期内能量有限，而后者则要求在整个区间能量有限
傅立叶级数的对应是离散的，而傅立叶变换则对应是连续的。

故而，两者的物理含义不同，且其量纲也是不同的，代表周期信号的第k次谐波幅度的大小，而则是频谱密度的概念。所以答案是这两者从本质上不是一个概念，傅立叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式,也就是正交级数,它是不同的频率的波形的时域叠加。而傅立叶变换则是完全的频域分析，傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析，傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析，傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。

什么是拉普拉斯变换？

1814年法国数学家Pierre-Simon Laplace在研究概率论中给出了拉普拉斯的可靠数学依据，从而发展成拉普拉斯变换理论。对于函数f(t)我们知道其傅立叶变换为：

那么如果对于函数其傅立叶变换为（这里描述单边拉普拉斯变换）：

上面的公式整理一下：

令,则上面的变换

从前文我们知道，拉普拉斯本质上也是一种积分变换，那么上面公式，将看成积分变换的核函数，则其变换核函数为：

上面引入的因子，对于函数函数将变得更容易收敛，傅立叶变换的绝对可积分的限制条件也就更容易满足了。拉普拉斯变换存在的条件为：

傅立叶拉氏变换联系区别

所以傅立叶变换与拉普拉斯变换的联系就比较容易联系了。

拉普拉斯变换，将原函数从时间维度（不一定是时间维度，只是方便理解本文以常见的时间维度信号进行描述），映射为复平面
傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例，也即变换核函数时，拉普拉斯变换就变成傅立叶变换了。相当于只取虚部，实部为0.
傅立叶变换是从原维度变换为频率维度，对于信号处理而言相当于将时域信号变换为频域进行分析，为信号处理提供了强大的数学理论基础及工具。
拉普拉斯变换，将原维度变换为复频域，在电子电路分析以及控制理论中，为建立系统的数学描述提供了强大的数学理论基础，学过控制理论的一天到晚都与传递函数打交道，其本质就是拉普拉斯变换对系统的一种数学建模描述。为分析系统的稳定性、可控性提供了数学工具。

什么是Z变换？

Z变换本质上是拉普拉斯变换的离散形式。也称为Fisher-Z变换。对于连续信号进行抽样变换就得到了原函数的离散序列：

其中T为采样周期，信号与系统中称为冲激抽样。其实说人话，就是将连续信号，按等间隔理想的转为抽取离散序列样本。看下图就明白了，在电子系统中常用AD转换器进行实现。

对上式进行拉普拉斯变换：

该公式利用冲激函数的抽样特性，可简化为：

引入,引入新的自变量Z，则上面的公式就变成这样了：

这就是Z变换了，从上面的过程描述就知道Z变换与拉普拉斯变换的关系了。因此两者的联系也就是Z变换是拉布拉斯变换的离散形式。

那么Z变换的意义在于什么呢？在数字信号处理以及数字控制系统中，Z变换提供了数学基础。利用Z变换很快就能将一个传递函数描述成差分方程形式，这就为编程实现提供了数学依据，比如一个数字滤波器知道其Z变换形式，写代码就是分分钟的事情了，同样知道一个控制算法的Z变换形式，同样编代码也是水到渠成的事情。

该笔记首发于傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？

yayayoi 网友的相关建议:

你知乎真的是对这个积分变换的理解算是日经问题，夜以继日孜孜不倦给我推这个，然后一边又是疯狂给我推数学本科毕业降维打击MFE学生，金融工程教授最爱，PhD毕业搞量化交易年薪必然百万千万，赚个千亿美元简直分分钟事情的意淫妄想（拜托，就不说写代码了，公司有分工嘛；把你们的神奇数学公式转换成能coding的形式的能力有吗？再不济，能转化成隔壁技术部可以理解的语言的能力有吗？）弄得好像你知乎用户的数学素养真的很高一样

真的，与其想这个，各位还不如趁着自己的本科时代精力充沛，多去寻找一些性资源发泄发泄不必要的精力，为社会安定做出贡献。

进入正题

推导公式真的没啥意思

简单来说，就像我们的三维空间中任意向量都可以表述成a*ex+b*ey+c*ez一样

我们也可以为某一个函数去寻找基底e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8..........

只要这些基底之间是正规直交的

正规就是说，随意从这些基底之中取两个，他们之间如果有內积应该是1（如果不满足这一条，那么系数将会极其反人类，因为我们总要去消除因为基底不正规而带来的空间扭曲）

直交就是说，随意从这些基底之中取两个，如果他们不是相同向量的，那么內积就应该是0（如果不满足这一条，那么这个系数也会变得极其反人类，因为我们总要去基底直交，而无法数学公式化那个系数a，b，c（应该能够程序化））

一个函数可以看成一个向量，比如sin（x）

可以看成sin(-∞)...sin(-3241615)...sin(-e^pi)......sin(+∞)这些，把x从负无穷到正无穷的全体定义域（这里是实数）逐个取值，塞进sin（x）里面，然后组成向量

那么傅里叶就是把f（x）用一组正规直交的(e^jw=cosx+jsinx)函数的线性结合去表述

（复变函数的內积是两个函数的其中一个本身与另外一个的共轭的全定义域卷积（卷积是什么？这个问题请自己想明白，我的解释已经牺牲掉了绝大部分所谓数学严谨性））

数学感觉好的人这里就很快能反应FFT是怎么做的了，没错就是利用了e^jw的周期性和对称性，然后通过矩阵行基本操作让一大堆变量的变成几个基本变量的正负形式从而把把计算量疯狂降低；但是逆变换的时候别忘了除掉系数（上回那个反正你们能想到名字的大学出身的搞不清这个，八成本科是去钓男人去了也是相当无奈了|别猜了，五道口的。）

拉普拉斯就是把f（x）变换成一个g（x），这个g（x）在x<0的时候都是0，在x>=0的时候等于e^-ax*f(x)，这样就保证了傅里叶变换对于被积分变换函数是个可积分的勒贝格可测函数的要求（就是别这个函数别给我发散到无限去，不要，那样谁都不好受；也不要出现不可测的函数（极其难找），但是比如别给我的x里面塞入{“苹果”，“金属”，“一个是你妈而不是你妈的爸爸”，“请告诉我FRB下调利率的概率是多少”，“人能不能不死”，“数学PhD就一定能炒股赚大钱分分钟几千万return”}之类的集合，太大了会坏掉的，这哪有测度啊，苹果加金属是啥啊…PPAP么…）

我们最喜欢的泰勒展开就是使用1/n!f(n)(x)这一组基底

小波变换，切比雪夫多项式也是这个道理

不过很有意思的是，傅里叶变换是基于笛卡尔坐标系的，所以球坐标系的函数其实并不能用傅里叶变换表示

强行表示的结果就是疯狂的artifact

球坐标系上有球谐函数

但是双曲面坐标系的函数又不能用这些来表示…

但是连续函数又不是愚笨的计算机能处理的东西，我们要离散化函数以及离散化了的函数的Z变换

函数离散化是简单的，毕竟他还只是个函数，甚至不是隐函数，甚至不是不是函数的一组数据，反正离散点代进去就有了函数的离散化

但是在离散群（就是基本允许你把集合进行加法操作的系统，但是能不能满足加法交换律不知道）上的”积分变换”就需要洛朗级数展开，这是泰勒展开在复平面上的拓展形式

看到泰勒展开是用n阶微分代进去了没有

对于负的指数n阶微分就是n重积分

洛朗展开用复分析里面的柯西积分，对函数特异点（比如实数线上的一系列离散点上的δ函数，这也就是为什么Z变换会说成是双侧拉普拉斯变换的离散版本的原因了），的周围进行闭合线积分

然后谢天谢地斯托克斯，让我们有了留数定律，能把柯西积分转化成在这些特异点上的留数计算

总之计算是变得能算了，不需要麻烦的微分形式变换了，然后我们就有了Z变换表

就是你考试之前临时抱佛脚或者是抄在小抄纸上面的那个密密麻麻的玩意

以及让许许多多高中没好好学习因式分解微积分课又偷懒不上课的各位受苦的美妙的拆分数环节

这真的需要什么横看成岭侧成峰的智障解释嘛？？？？？？

xiangnongzhihu 网友的相关建议:

无妖自来，人在花果山，刚下筋斗云。

先说结论：

傅里叶变换是把信号从【时域】变换到【频域】。

拉普拉斯变换是想办法把不满足傅里叶变换条件的【连续信号】从时域变换到频域。

z变换是想办法把不满足傅里叶变换条件的【离散信号】从时域变换到频域。

然后我们再来分析一下这些变换研究的都是什么，以及联系和用途。

【内容提要】

什么是频域？
什么是傅里叶变换？
什么是拉普拉斯变换？
什么是z变换？
z变换有什么用？

【更正记录】

2020-08-10: 感谢 Aegis Liang

更正: 三角函数的一大特点是不同频率的正弦和余弦都是彼此正交的，也就是一个三角函数和其它的三角函数内积为0.
补充：信号的傅里叶变换为复数如何画频谱。

1.什么是频域？

我们认知的世界是三维的，所以我们能看到的物体有长，宽，和高。

比如，一个箱子，一些物品。

这些物品我们通过眼睛，手，基本就能够辨别。

当然，现实世界里有些“东西”是我们靠眼睛和手，不能感知的，比如：花香和臭屁。好在人类进化出了鼻子。

通过观察你会发现物体，气体，一般都是由物质构成的。如果想更深入的研究，我们只要分析它们的分子组成，无论再复杂的物品，也逃不出一张化学元素周期表。

通过触觉和嗅觉能够感知的物体，一般都很直观，好理解。

而通过听觉感知的声音，就稍微有些抽象了。声音是通过空气振动传播，也就是让空气分子产生波动。你在听一首音乐的时候，让空气振动的电信号大概是长这样的。虽然听起来很美，但是看起来却很乱。

当你对音质有更高的要求，希望低音厚重，中音圆润，高音细腻。怎么对杂乱无章的声音信号进行处理呢？有没有类似化学元素周期表的法宝，让我们把声音也看得通透。

有！那就是频率，其实这个高、中、低，对应的不是声音大小，而是声音的频率。频率可以理解为信号振动的快慢。

而我们原本看似杂乱的声音信号，可以分解为不同频率的来表示。看起来是不是简洁很多。

声音信号

声音信号的频率谱

如果说声音有些抽象，那么自然界中还有更抽象的：电磁波。

电磁波几乎无处不在，比如我们的手机信号。但它却比声音还要诡异，很难觅其踪影。

人类只进化出了能够感知电磁波中可见光的器官：眼睛。其它的频率，有些人们视而不见，有些像美杜莎一样，看到你就去另一个世界啦。

电磁波的频率周期表

对比一下声音，如果我们想对电磁波做一些手脚，让它们帮我们传递信息，通风报信。如果从时间维度很难操作，它们混在一起，杂乱无章。但电磁波本质是一种波，如果从频率维度去操作就变得相对简单啦。

你仔细品品，电磁波的频率周期表是不是和元素周期表有异曲同工之妙。

那么如何把时域的电信号变到频域呢？

2. 什么是傅里叶变换？

从前有一个特别帅还爱烫头的男人，他叫做傅里叶。

爱烫头的男人

傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。傅里叶在论文中推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。

或许是为了更好的烫头，或许是他对大波浪情有独钟，他研究热力学的时候发现任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。

怎么理解？比如，有一个方波信号，能不能只用正弦和余弦信号合成呢。

我们试一下:

有些轮廓了，我们再来一个：

有些接近了，我们再来一个:

随着我们叠加的余弦信号越来越多，我们得到的信号越来越接近一个方波信号。

这好比我们用卷曲不一的头发，合成了一个平头。

刚才说的是方波信号。

如果换成其它信号还香不香呢？

香，爱烫头的傅里叶已经证明过了。

为什么这么香呢？

因为三角函数满足一个性质，彼此正交。

什么是正交呢？

举个例子：

二维空间中，直角坐标系x轴、y轴就是正交的。正交可以理解为它们没有血缘关系，可以结婚生孩子。

二维空间向量a ⃗ 可以分解到x轴、y轴，对应的坐标为(1,1) 。

如果在x轴、y轴有两个向量b ⃗ 和 c ⃗ ，它们是正交的，我们称其为正交基。正交基的厉害之处在于，任意的平面向量都可以用它们去表示。它们是其它向量的再生父母。

比如，想用正交基b ⃗ 和 c ⃗ 表示向量a ⃗ ，那么只要求向量a ⃗ 在正交基下坐标，。

同理，如果是三维坐标系，我们只要找到3个正交的向量，在不考虑伦理的情况下，它们就可以做为其它信号的再生父母啦。

三维向量空间

假如是多维空间怎么表示呢，我画个示意图，你要脑补一下，两两向量都是正交的。它们是向量a ⃗的再生父母们。

说完了向量，再看另一个种族三角函数。三角函数的一大特点是不同频率的正弦和余弦都是彼此正交的，也就是一个三角函数和其它的三角函数内积为0。也就是下图中黄色部分的面积和。

现在开一个脑洞，如果我们把正交的向量换成不同频率的正弦信号和余弦信号会怎么样？

不同频率的正弦信号和余弦信号可以组成任意的信号。比如，方波信号。

前面对应的系数就是信号在不同频率的正弦和余弦组成的坐标系下的坐标值。

傅里叶变换就是求坐标的过程。如果忘了，可以复习一下坐标公式。

自此，我们可以把大部分信号通过傅里叶变换分解成不同频率的正余弦信号了。比如我们的方波信号，可以用不同频率的余弦信号对应的系数去表示。这样看起来是不是简单很多啦。

为了让傅里叶变换看起来更简洁，我们根据欧拉公式，引入了复指数形式的傅里叶变换。

用去代替和。

说来也巧，也满足彼此正交的性质，也可以作为其它信号的再生父母。

比较一下两种傅里叶级数的展开形式，复指数形式是不是更简洁一些。所以在实际应用中我们也往往用复指数形式去表示。

比如，我们可以把余弦，正弦进行复指数形式的傅里叶变换。其实就是用复指数去表示，并求出在复指数正交系的坐标值。这些坐标值对应的就是不同频率的复指数，也就可以画出信号的频率啦。

还有些信号傅里叶变换以后系数（坐标值）是复数，比如正弦信号，怎么画出频谱呢？

我们知道就是一个旋转的向量，所以我们可以画一个三维的图像：

当然这很考验画功，一般情况下我们会把频谱拆解为幅度谱和相位谱。

幅度谱是那个复系数（坐标值）的模值，相位是旋转向量的初相位。

如果不好理解的画，我们可以把公式变换一下，不过先要引入一个虚数的概念。

把带入：

得到和是对应的旋转向量和的幅值。和分别是它们的初相位，也就是时旋转向量和的相位。这样我们可以用幅度谱和相位谱来完整的表示信号的频谱啦。

同样，其它信号的频谱也可以用幅度谱和相位谱来表示呦。

至此，我们知道了一个信号无论多么复杂，我们似乎都能用不同频率的和，或者复指数组合去表示，同时把信号从时域转换到了频域。

所有的信号都能进行傅里叶变换吗？

答案是否。

3. 什么是拉普拉斯变换？

说完了烫头的男人，这里隆重引出另一个男人，一个喜欢养小妖的男人：拉普拉斯。

养小妖的男人

拉普拉斯提出的一种科学假设。如果有个“恶魔”知道宇宙中每个原子确切的位置和动量，能够使用牛顿定律来展现宇宙事件的整个过程，过去以及未来。

拉普拉斯妖

回到我们刚才的问题，不是所有的信号都是那么听话能从时域经过傅里叶变换到频域。

必须是满足狄利赫里条件的信号才能进行傅里叶变换。

举个不满足的例子，比如：

这个函数是无穷大的，我们的复指数信号赶不上它的增长。也就没办法表示它。

不过，我们尝试以其人之道，还治其人之身，给它乘以一个衰减的函数。

这样原来的直男，被硬生生的掰弯了。。。

图片来自：https://www.zhihu.com/question/22102732/answer/369089156

现在不听话的信号乘了一个衰减因子后变的听话了，我们就可以对它动手动脚，进行傅里叶变换啦。不过我们乘的不是，而是。

我们令，得到：

前面我们知道了满足条件的信号，可以通过不同频率的复指数去表示。

那么这个复指数是什么样子呢？它是一个旋转的向量，随着时间，不停的逆时针旋转，旋转的角速度是。

在横轴的投影值是 , 在纵轴的投影是。

如果我们给复指数乘以一个放大因子。则会变成一个不断变大的旋转向量：

所以可以有2种方式来理解拉普拉斯变换：

1.把不能变换的信号乘以一个衰减因子，先把信号驯服就可以傅里叶变换啦；

2.把复指数信号乘以一个放大因子，让它追的上要变换的信号。

比较一下傅里叶变换和拉普拉斯。

提到拉普拉斯变换的时候，我们还经常提到一个收敛域的概念。其实就是衰减因子中取多大值，能让信号收敛后进行傅里叶变换。时，拉普拉斯变换就是傅里叶变换。

4. 什么是z变换？

前面我们讲从时域到频率，说的信号是随时间连续的。

在实际应用中，对于信号的处理都是数字化的。也就是先把连续的模拟信号进行离散的数字信号再进行处理。

这样我们原来连续的方波信号就变成了，一个个离散的点。

对应的我们也有对于离散信号的傅里叶变换，它们有离散时间傅里叶级数DFS，离散时间傅里叶变换DTFT，离散傅里叶变换DFT，快速傅里叶变换FFT。

鉴于篇幅原因，我们就不一样展开了，以离散时间傅里叶级数DFS为例。

其实就是把数字信号分解为不同频率的离散复指数信号，并求出其对应坐标。

离散的复指数信号不再是时间连续的线，而是一个一个点。

那么所有的数字信号都能够被离散的复指数信号表示吗？

显然不是的。

有些信号，本来不听话，变成数字信号后，仍然桀骜不驯。比如：。不过现在我们有经验了，我们给它乘以一个衰减因子，先把它掰弯，再进行变换。

另一种理解方法，让离散复指数乘以一个放大因子，不断变大，就能跟上信号的变化，从而降服信号啦。

上面说的就是z变换。其实就是把不能变换的数字信号收敛以后再进行离散傅里叶变换。

是不是和拉普拉斯变换有异曲同工之妙。拉普拉斯变换是对于连续的模拟信号，z变换对应的是离散的数字信号。

和拉普拉斯变换一样，z变换也有收敛域的概念。

拉普拉斯对应的是直角坐标，是一个平面。

z变换对应的是极坐标，是一个圆。

5. z变换有什么用？

费了九牛二虎之力，得出了z变换，有什么用？

其实，实际中的信号还是听话的比较多，也就是直接可以进行离散傅里叶变换。那z变换是不是没有用武之地啦。

我要这铁棒有何用？

也不是，当信号听话的时候，我们可以让，那么. 这样表示起来是不是简单多啦。比如，我们可以简洁的表示一个系统的传递函数。

我们还可以画出系统的频率响应。

根据系统的频率响应，我们去设计数字滤波器。

当然，还可以设计更复杂的数字滤波器。

当然，这里的应用仅仅是在数字信号处理和通信工程方面举例。如果有更多的应用，欢迎交流。

对傅里叶变换感兴趣的同学，附上大师兄录制的视频。

uhometitanic 网友的相关建议:

既然荆哲提到序数，那当然得提到基数

事实上不用我来，知乎上已经有关於不可达基数的套娃问题了：

该问题中套娃层次最深的回答由hhh给出：

因为第不可达基数个不可达基数不是不可达基数的极限。不可达基数的正则极限至少是k是第k不可达基数，但也不能让不可达基数形成无界闭集，让不可达基数形成无界闭集至少是马洛基数。不过第不可达基数个不可达基数的确是无界的，的确可以使里面的奇异基数形成无界闭集。
设I0是第一个取幂不可到达正则的基数，In是大于In-1中最小的取幂不可到达正则的基数，Iα(α是极限序数)是前α个In的极限。那么你的第不可达基数个不可达基数是I(I+1)。不可达基数的极限都不是。

大家可以数一数总共套娃了多少层（下界大於第不可达基数个不可达基数）

傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？的其他答案点击这里

傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？第1页

看到这个问题非常有趣，也有价值，前面各位大神回答都非常非常好，自己也将自己的理解整理一下，并分享出来，文中如有错误，也请指正。希望通过这种方式让自己的理解能尽量准确、深刻。

什么是数学变换？

什么是积分变换？

什么是傅立叶级数？

什么是傅立叶变换？

傅立叶级数与变换的区别？

什么是拉普拉斯变换？

傅立叶拉氏变换联系区别

什么是Z变换？

1.什么是频域？

2. 什么是傅里叶变换？

什么是正交呢？

3. 什么是拉普拉斯变换？

4. 什么是z变换？

5. z变换有什么用？

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