如何解决这个数学问题? 第1页

自答，已解决，结论是

事实上，若记，则有 ， 是n次第一类切比雪夫多项式( )

下面给出证明

引理一：给定n+1个互不相等的实数 ,存在唯一的数组 ,使得对于 ， , 是任一给定的实数

证：设 ,由，有

比较两端 的系数，得到n+1个关于 的线性方程

该线性方程组的系数行列式是n+1阶范德蒙德行列式

根据克拉默法则，该线性方程组有唯一解，证毕。

对于 ,给定n+1个互不相等的实数 ，根据引理一立刻有 ,数组 由唯一确定

(补充：根据克拉默法则， 等价于用向量 替换线性方程组 系数矩阵的列向量 所得的矩阵的行列式为0，这矩阵的行列式是n+1阶范德蒙德行列式 ，它等于0的条件是 ，这与 矛盾，因而有 )

下面研究等号成立的条件

首先有

(补充证明： ，由于 ，因而等号成立的条件是 )

不妨设

由 ，有

假设 与 中至少有一个成立，则在区间 上至少有n个实数x使 成立

又，因此在区间 上至少有n个实数x使 成立，这与 相矛盾

(因为 ，根据代数基本定理， 最多有n-1个复根)

从而 ,在区间 上有且仅有n-1个实数x使 成立

不妨令

假设存在 ，使得

根据拉格朗日中值定理有 ，使得

由此导出矛盾，因而有 那么根据拉格朗日插值公式可以给出唯一的

注意到对于 ，由 可设 ，两端积分并代入初值条件 ...

理论上可以求出 的值(虽然计算量比较大)

据此可知数组 是由n唯一(?)确定的

关于第一类切比雪夫多项式

是由 诱导的n次多项式，利用n倍角余弦展开式可以立即给出 的表达式，或者根据De Moivre formula，有

立即得到cosnx是关于cosx的n次实系数多项式

根据余弦函数的有界性易知，对于 ，均有

注意到

取数组 满足 恰能使 中的等号成立

并且有

因此就是由以上条件

(存在n+1个互不相等的实数 ， 使得 )

诱导的多项式

所以对于给定的，

下面求出 的表达式

根据三角恒等变换

所以有递推公式

设

此式等价于

有

故，由 得

解线性方程组

得到

显然

因此有