如何证明 1+1/4+1/9+1/16+1/25+…=π²/6？ 第1页

利用Taylor expansion:

所以有:

令 ，即将坐标系逆时针旋转

积分区域为

代入Jacobian Determinant有:

又有:

令 ，换元有:

同理可求得:

综上可得:

考虑不等式，

有

进而，

借引理 ，易得

即

注意到

由夹逼定理，

证毕.

下证引理. 注意到棣莫弗定理，可知

考虑 ，根据二项式展开得到正弦 倍角公式为

两边同时除以 ，令 得

令 得

由韦达定理，

得证.

回答取自：

既然大家都已经把高大尚的方法写完了，我就讲讲著名数学家欧拉为什么能够发现 这个结论。

根据很多资料，欧拉本人最开始是通过将 与 进行比较而得出的结论。所以我们不妨先写程序（附录程序1）看看不同的n会给出什么样的结果（由于18世纪还没有计算机，所以比较硬算到n=10比较妥当）：

很明显，即使我们用计算机算到了 ，也无法看出 与 的关系（毕竟收敛的太慢）。然而在n很大的时候计算量会很大，所以我们需要从数学角度上简化计算。

众所周知，求和与积分息息相关。虽然求和 比较难以手算，但是积分 我们却能够快速得到结果。而积分又通过欧拉-麦克劳林公式与求和结合在一起，所以我们可以对这个问题使用欧拉-麦克劳林公式：

把 代入以上式子，得：

现在设 ，则有 ，代入到上式，得：

现在对两侧求 的极限，得：

因此，通过修改原式，得：

为了方便，我们让 ，则原式变为

根据伯努利数表，我们有 ，代入得：

把n=4代入到上式，可以得到近似（程序2）：

和真实值 对比，我们可以发现其实用欧拉-麦克劳林的结果已经相当接近 的真实值了。事实上，欧拉也是根据这样一个近似结果猜出 。严谨证明也是后来的事儿了。

附录

欧拉-麦克劳林公式推导：

程序1源码：

       #!/usr/bin/env python3 import numpy as np   def get_sum(t):     return np.power(np.arange(1,t+1,1,dtype=np.float),-2).sum()  S=np.pi**2/6  n=10 print(r"egin{aligned}") for i in range(1,n+1):     print(r"H^{(2)}_{%d}&=%.8f \" % (i,get_sum(i)))  print(r"&vdots \") print(r"H^{(2)}_infty&={pi^2over6}=%.8f \" % S) print(r"end{aligned} \")     

程序2源码：

       #!/usr/bin/env python3 import numpy as np  n=4  coeffs=[1,-1/2,1/6,-1/30,1/42,-1/30] pows=[-1,-2,-3,-5,-7,-9] ns=np.ones_like(pows,dtype=np.float)*n  s=np.power(np.arange(1,n+1,1,dtype=np.float),-2).sum()          +np.dot(np.power(ns,pows),coeffs)  print(s)     

欧拉方法：

正弦函数的泰勒展开式为：

两边除以x

但是

于是

这个无穷乘积的二次项系数，等于

对比泰勒展开式，可知

两边乘以-π^2，就得到了答案：

——————————分割线——————————

我们把 中所有x换成ix，其中i是虚数单位，可以得到：

同时可以得到：

其实就是把减号全部换成了加号，通过双曲正切函数和同样的步骤，我们也可以推出 这个结论。

但是，我们可以尝试着把双曲正切函数和圆正切函数相乘：

泰勒公式部分，在6次项后面都不需要，因为我们只需要注意4次项。

无穷乘积的4次项系数为：

我们再通过两个泰勒公式的乘积找出4次项系数，只需要把常数项和4次项相乘，再把2次项和2次项相乘，最后再加起来即可。

于是：

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这个经典的问题是数学史上著名的Basel Problem，以大数学家欧拉和数学家家族伯努利家族的故乡——巴塞尔命名，保守估计得有几十种证法吧.

定义：

在数学上，这是著名的Riemann Zeta Function，去年闹得沸沸扬扬的黎曼猜想研究的就是它，可惜阿蒂亚爵士已于今年年初逝世，享年90岁.

时，也即这个问题，相对来说是非常简单的，此时

这个问题保守估计也有几十种证明方法

http:// empslocal.ex.ac.uk/peop le/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法--怎么计算$frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+cdots$ ? - 御坂01034 - 博客园

这两个地址都罗列出了不少证法

Martin Aigner和Günter Ziegler写的那本著名的《Proofs from THE BOOK》（数学天书中的证明）中，数论篇的第8章《三探π^2/6》一文，也给出了几种巧妙的证法.

我这里也加一种相对较为初等的证明方法，需要用到微积分中的定积分和幂级数相关知识

（一）

我们知道

这个结果可由递推公式

推出

同理由该递推公式还可推出

于是

由于 时

自然有

于是，可推导出：

（二）

由不等式

推出

由夹逼定理可知

此即著名的Wallis公式

从它可推出

（三）

令

两边再同时对 求导，有

再对两边同时求n阶导数，由高阶导数的Leibniz公式，可得

整理得

（ ）

在 时，有

这构成了一个递推公式

我们有

从而，当 时

而当 时

从而有 的Maclaurin级数为

并且显然它收敛于自身的Maclaurin级数

所以

（四）

由于

现在，令 ，

有

由于

由比较判别法的极限形式，可得级数

收敛

由Weierstrass优级数判别法可知

函数项级数 一致收敛，从而逐项可积

两端分别对 求 上的积分

从而

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麟之趾

（先秦）佚名

麟之趾，振振公子，于嗟麟兮。

麟之定，振振公姓，于嗟麟兮。

麟之角，振振公族，于嗟麟兮。

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