为什么中国小学数学教育要揪“除”和“除以”的区别？ 第1页

先看英文。

牛津词典：

divide (verb)
[intransitive, transitive] to separate into parts; to make something separate into parts

The cells began to divide rapidly.
The questions divide into two categories: easy and hard.
30 divided by 6 is 5.

公理：

30 divided by 6 is 5.

30除以6等于5。

所以：

除以 = divided by

因为：

以，用也。——《说文》

所以：

除以 = 用xx去除 = use something to divide

所以：

除 = divide

所以：

= 1除以3 = 3除1

因为：

= 3分之1

所以：

除 = 分之

总结：

divided by = 除以

divide = 除 = 分之

= 1除以3 = 3除1 = 3分之1

中文也好，英文也罢，都是有很多很多历史遗留问题和不规则语法的。比如除法有除和除以的区别，那为什么减法没有呢？除法和减法都不满足交换律，而除法的逆运算满足交换律，减法的逆运算也满足交换律，从除法和减法在加入倒数/相反数之后与乘法和加法能够统一的角度来看，“减”和“除”应当要么都有加上“以”做后缀的区别，要么都没有这种区别。除法有，减法没有，英语里也是如此。

我个人认为，搞清楚概念是好的，但是实际应用中只需要保留其中一种就行了。按照平时习惯是从左往右读和从上往下读，因此保留“除以”比较好，舍弃“除”和“分之”。但是更进一步地想，加、减、乘、除，都是一个字，但是乘以和除以多了个“以”，怪别扭的。现在已经不怎么区分“乘”和“乘以”的区别了，或许可以把“除”的意思解释成“除以”，以后就说“除”，但是意思是现在我们说的“除以”的意思。即：

这样一来就整洁优雅了。其实没必要搬出说文解字去抠字眼，因为这些本质上是数学记号，以清晰简洁为要。

刚刚写到逆运算的时候，觉得加减法和乘除法好像不严格满足互为逆运算的条件，于是查了一下：

（这里本来应该有空格的，但是知乎编辑器有毛病，引用块首行显示不了空格）数学讲究严谨，因此教师课堂上所说的每一句话都不能犯知识性的错误，不少教师在教学中都想当然地认为，既然“减法是加法的逆运算”，那么“加法也一定是减法的逆运算”，甚至认为“加法与减法互为逆运算”。但是，大多数初等数学理论书籍中都只说“减法是加法的逆运算”，而对“加法是不是减法的逆运算”和“加法与减法是不是互为逆运算”则闭口不谈，小学数学教科书与教学参考书也是这样处理的，另外查阅了许多资料也是如此。其实，要说清楚这个问题，首先要对“运算”和“逆运算”进行定义，弄清楚“逆运算”的内涵。
　　一般来说，运算都指代数运算，它是集合中的一种对应。对于集合A中的有序元素对a、b，有集合A中唯一确定的第三个元素c与它们对应，叫做集合A中定义了一种“运算”。由这个运算可以得出两个运算，就是把a、b中的一个当作需要求的，而把c当作已知的，这样得出的运算叫做原来运算的“逆运算”。它的第一个逆运算是：对于元素对c、b，使元素a与它们对应；它的第二个逆运算是：对于元素对c、a，使元素b与它们对应。如果一个运算满足交换律，即这个运算对于任意一对元素a、b或b、a，永远得到同一结果，那么这个运算的两个逆运算是一致的。也就是说，在这种情况下，这个运算有唯一的“逆运算”。
　　例如，对于整数集来说，任意两个整数的加法运算满足加法交换律，所以加法有唯一的逆运算减法。又如，任意两个整数的乘法运算满足乘法交换律，所以乘法有唯一的逆运算除法。
　　但是，每一个运算并不都有逆运算。例如，在自然数集合中，定义了自然数的加法，而它的逆运算减法，对于任意两个自然数a、b，并不是总能施行的：例如2+3=5，已知5、3或已知5、2，都可以用减法来求另一个加数，这时我们就可以说“减法是加法的逆运算”。又如5-3=2，已知5、2或已知3、2，这时不能都用同一种运算(加法)求另一个数，所以加法不是减法的逆运算。即使认为减法运算有两种不同的“逆运算”加法运算和减法运算，就说“减法的逆运算是加法”、“加法和减法互为逆运算”是不对的，甚至只说“加法是减法的逆运算”也是不妥当的。如果要说，就应该说成“加法是减法的逆运算之一”。如同“除法是乘法的逆运算，而乘法不是除法的逆运算”一样，道理亦然。
　　同时，还有教师从辩证唯物主义角度出发，认为加法和减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算是对的。两个相互对立的事物，在一定的条件下可以相互转化，两种对立的运算，在一定条件下也可以相互转化。正运算和逆运算是对立的双方，是现实世界中正与逆的矛盾在数学中的反映，因此它们相互依存、不可分割，并在一定的条件下相互转化。数的加法和减法、乘法和除法互为逆运算，都可以相互转化。加法可以转化成减法，反之亦然。另外，加法和减法在转化的前提下统一起来了，形成了代数和的概念。可见，没有转化，就没有统一。同时，笔者认为小学数学也不必讲得那么深奥，简单点就可以了。但数学更应讲究其科学性和严谨性，不能因为我们暂时说不清楚就迁就使然，草草了事。

以上。