3³+4³+5³=6³，只是个巧合吗? 第1页

eslpower.org 网友的相关建议:

没想到什么头绪，查了一下谷歌，看到 Quora 以下贴子：

Number Theory: What idea is hidden in the problem 3³+4³+5³=6³ ?

该贴子的两个回答，大致相同：

【Quora回答1】

因此

【Quora回答2】

当时，即

Quota 的这两个回答，可以理解为：是否存在两个三角数，其平方差为立方数？

本问题问的是式子的几何意义或别的解释，勉强凑合一下，看看有无类似结果。搜了一下，等式左边的各数在1000以内时，有15组解：

其中，有两组都是等于，即：

此外，搜了一下，等式左边的各数在1000以内时，4次、5次、6次方之和没有类似结果。

拼凑一个有点类似的4次方例子：

2021/12/15 补充：

上述回答发出后，我进一步得到更深入的结论：由以下恒等式

当时，得到

3³+4³+5³=6³ 绝非巧合！

详细推导过程，请看下文：

2021/12/26 再补充：

根据 @笑横野的回答，留意到一个更普遍的恒等式：

另外，二次方也有类似恒等式

详细参看：

xie-wei-chen-79 网友的相关建议:

是的，因为是

的解

即

该式恰有且仅有一个整数解3。

qian-xun-bai-du-7 网友的相关建议:

去除掉神秘感，在数字世界只看逻辑，那么在无限多的数字中，你设定一个形式上符合某种逻辑的公式求解就是了，要么有解要么没解。只是个巧合？那难道还是某种宇宙规律武器不成？

你解一下这个方程看看呗：

你要是好奇还可以解一下这个方程：

……

这种问题，真正有意思的地方在于，这种形式的方程解的规律，可不可用某种数学形式表达出来。

当然，这是数学家的事了，事实上早就有人在研究了。

至于这种形式，会不会像勾股定理一样在空间上有某种形式的对应，那就得看学术研究了，不过应该没有这公式的实数解就一个。

zhang-wei-82-54 网友的相关建议:

有人问杨振宁教授相信上帝存在吗？杨说：如果把上帝具象为一个人的形象，我认为是不对的，如果是其他形象，我认为是有的，当我看到某些物理现象的时候，它们太巧妙了，不可思议地巧妙，太美好了，随着年龄增长，我越来越相信……

这个数字公式，以及很多很多貌似巧合的因果，与茫茫宇宙浩瀚星河一样，不得不让人感到神奇得不可思议，科学尽了一切努力，也只是在无数星球当中的一个上探究出了一些问题，杨振宁教授说：我们永远不可能研究出所有的事物，不能。

人对一切当有敬畏之心，不信因果，不是你不讲迷信，只是你还无知似少年，当人年轻的时候是相信人定胜天的。

我个人并不认为有太多巧合，我倾向于被设计，如鲜花如野兽，完美得无懈可击不可思议。所谓命运就是设计好的程序，你左拐了，轨迹变了，走向了另外一个程序，那个程序的路上有设计好的一切在等待相遇，你右转弯，则是另外一个程序，这就是命运。

回到这个公式，再回到数学，回到数字，回到设计数字1的人，他发明了1，是巧合，应该也是他的命运，他所走上的那个程序的结果。当然，可以说，这一切都是巧合。

huang-de-ping-82 网友的相关建议:

----------------- 22-01-13 更新 --------------------

补充几点新的内容

1.整理出了两篇相关文章

牵扯到椭圆的秩(rank)的计算通常都很难，之前得到的曲线为

一个自然而然的问题是这一组椭圆曲线秩最大可以为多大？目前已知的最大秩为4，对应的d为455，741，1323等。d=741对应的曲线为，能算出来它的秩为4，但是只计算出三个生成元，第四个一直没算出来。

2.一个新的问题是，是否存在连续等差数列的均立方为立方数？

答案是肯定的，同样可以用椭圆曲线解决。有一个有意思的恒等式是

另外，这个问题也存在一组通解，也就是将 @陈漱文的公式简单变换一下

3.实际上，椭圆曲线不仅有有理点，在某些有理扩展域上也可以有无限个点。对应的恒等式有

有意思的是，当考虑复数时，存在一组通解

资料链接

以上部分计算用到了sage，真香，尤其是其中的mwrank，向大佬John Cremona致敬。

sage官方地址

Cremona的主页

提出BSD猜想之一的Birch90岁了，有个庆祝他生日的学术会议

---------------------- 21-12-26更新 ----------------------

既然 @陈漱文大佬写了一篇提到了我之前发现的公式，那么接着更新一下

之前的结果是针对的，这么选的原因在于这时的三次曲线可以找到一个特殊点然后转化为标准形式。实际上，这样的特殊点越平凡越好，显然我们可以发现

当然大家会觉得这个过于显然了，但是没关系，我们只需要借助这个特殊点完成椭圆曲线标准形式的转化。

不妨设 ,k可以是整数或者半整数，也就是d可以是偶数，也可以是奇数，写成这个形式只是为了推导的方便。

令 ,则我们可以得到椭圆曲线

m,K与x,y的变换如下

这是一类椭圆曲线，每一条的阶数不尽相同，但都有一个non-torsion有理点，对应的m,K是平凡解，但是对应如下的非平凡解

这个公式@陈漱文也注意到了，d取k立方的时候就是之前的公式。

值得一提的是，当d取3，椭圆曲线为，整点对应于如下恒等式

相信大家可能听说过拉马努金的故事，就是他提出的1729是能拆分成两种立方和的最小正整数，

也就是上述恒等式将-10移到右边， .

小结一下，以上过程给出了构造任意长度等差数列立方和等于某立方数的一般方法。

接下来给出几个相对简单的、各数均为正整数的例子。

---------------- 21-12-19更新 --------------------

尝试了新的假设，可以得到以下恒等式（左边为等差数列，公差并不为1）

更一般地，考虑k为整数，如下恒等式成立

以下介绍这个恒等式的由来，实际上还有一系列恒等式，但是形式过于复杂就不放了。

1.之前的尝试走了弯路，如果令 ,那么我们可以得到如下的椭圆曲线

x,y与m,K的变换关系如下

以及

原三次曲线E形式如下

之所以考虑是一个立方数的情况，是因为这个时候对应的E可以很容易地找到一个有理点，然后可以有办法通过变换转化为如上所述的形式。

椭圆曲线上的有理点为，其中

对应的m,K为，也就是 @陈漱文的结果。

在曲线上进行一次乘法法运算，得到

对应的m,K为

也就是开头提到的公式。

乘法操作可以一直进行下去，比如，n为3时，结果如下

对应的m,K形式更为复杂

n=3的情况已经令人不忍直视，n更大的情况只会更加复杂。

2. 小结

一般而言，有如下恒等式成立

其中表示从x,y到m,K的变换，表示在椭圆曲线上的乘法操作。

到这里还是点一下题吧，我觉得说巧合或者不是巧合没多少讨论的空间，但是从这个3,4,5,6恒等式出发推导出一个漂亮的恒等式（ @陈漱文）以及一簇椭圆曲线，足以说明这个问题还是相当有意思的。

关于更高阶的情况，有时间可以尝试一下，目前没见过有什么现成的例子。4次的情况也许用椭圆曲线方法还有一点机会，更高次的情况就不知道如何入手了。

参考资料：

关于如何将三次曲线的一般形式变换为Weierstrass标准形式可参考以下文章

-------- 原答案 --------------

已经有大佬 @陈漱文给出了一组参数解，相当巧妙。我给不出更好的答案，但是我发现了这个问题可以转化为一个椭圆曲线的问题，假设 ,那么令 ,我们可以得到如下的椭圆曲线

m,n与x,y的变换关系如下

当d取2，椭圆曲线是，其中一个整点(5259,379080)对应m,n,K=2,5,6，另一个整点（23619,3628800）对应m,n,K=2,22,40，也就是

可惜的是，得到椭圆曲线并不真正解决问题，反而需要大量计算有理点，变换过来的m,n只有极少数是有意义的整数。但是也许对于这个问题的认识会有一定的帮助。

附录

简单写一写椭圆曲线形式的推导过程

令 ,消去K,则可以得到如下方程

接下来就是想办法将其转化为Weierstrass标准形式，可以先做个旋转，消去一个三次项，

令，得到。

接下来好办了，对分母进行换元，得到新的方程形式

接下来是更常规的操作，消去分母的 ,再消去二次项。过程相对繁琐，最后的结果还算简洁

参考资料

关于椭圆曲线的标准形式的转换可以看看知乎上关于“网红水果题”的文章

xi-tong-50-13-47 网友的相关建议:

很多人都在纠结那个可不可知是啥东西，我本来想说的通俗易懂，重点不在这里，但也是很不严谨的，容易误导人。

有兴趣的话可以看一下这个视频（数学有一个致命的缺陷【官方双语】【Veritasium真理元素】_哔哩哔哩_bilibili）

它很好的解释了数学的【完备性】、【一致性】、【可判定性】，也说明了数学的问题。

先说结论，不是。

数学是由人类定义死的，所有数学都是由【公理化体系】衍生出来的。

1+1=2，为什么？这难道不是美妙的巧合吗？

不是，因为【皮亚诺公理】规定：

0的【后继数】记为1，1的后继数记为2。

而a的后继数记为a+1的形式。

所以1+1=2。

所有的数学定理和结论都是由公理化体系推导出来的。

也就是说，所有的数学结论，结果都是一开始就定好的，只是说我们知道或者不知道，它是对还是错而已。

【哥德巴赫猜想】是不是对的，我不知道。但它要么是对的，要么是不对的，两者必有其一且仅有其一，当然前提是我们能够去知道它是对或者错的。

它不是巧合，因为数学本身就不存在巧合。

我们更喜欢用另一个词来描述它：一般化。

这个问题是否有更加一般化的公式？

这是我们最为熟知的勾股定理的特殊例子：

然后是题主发的问题：

好像有点意思了。那么接下来我们会想：

是否会成立呢？

但很显然不对，因为左边是【偶数】，右边是【奇数】。

我的天哪，怎么会错了？数学大厦轰然倒塌。

开个玩笑。

那会不会是当相加的个数为【质数】情况下才对呢？

很抱歉，还是错的，因为这下子左边成了【奇数】，而右边是【偶数】：

我不服，难道只有它们能看起来如此好看吗？

我们发现

中，出现的都是连续的整数。

那么很显然，它可以写成以下【方程】的形式：

它可以写成：

是不是很熟悉，很简单？

另一个解是-1，也就是说

同理，3也是

的一个解。

那么，我们发现了美妙的共同点：连续整数，相加，次方。

那么也就是说它们都是以下方程的特殊形式：

我们想知道它是不是有【整数解】，如果有，在什么情况下成立。

我们知道，当k=2,3的时候，有整数解x=3。

再进一步，它的更一般的方程可以写为：

当(k,n)是什么的时候会有整数解，同时我们也可以把(k,n)当作一个解，这些解中会有什么关系？

再再进一步，更更一般的方程式：

是否有整数解？

更更更进一步，我开摆了，我指数也不要求相同了，是个整数就行，那么就会有：

如果到了这一步，那么恭喜你，发现了【丢番图方程式】的特殊形式。

是的，丢番图方程还要更更更更进一步：

甚至你可以创造一个“丢丢番图方程”：

是否有整数解？

我还能假定系数可以为无理数。

要是为复整数的话会怎么样呢，全部都是复数会怎么样呢？

我还可以……

在这里我不去讨论以上问题的可解性，不是因为我不知道哈。因为题主也没问这个，当然我也没说过我不知道。而且大家在上班上课之余去看这个问题很少会有时间去看繁琐的计算，去深究的，真的不是因为我不知道哈。

好吧，其实我真的【不知道】。

其实全世界都没有人知道。

我要是知道了，那么你们都会知道我是谁了。

但是有人知道这是知道不了的。

1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了不存在一个特定的有限步的方法去解一个一般的丢番图方程。

数学就是这么神奇，在你千方百计想去知道的时候，有人告诉你这是知道不了的。但是得去证明它是知道不了的，要不大家不认啊。

回到最初的问题，这是巧合吗？

从数学上来说，不见得。

但越是这样的问题我们越想去了解它，去解决它。这样的”巧合“会推动我们去思考，它能不能被一般化，能不能再被一般化？我们越是想去深究，它就越难，但也越有吸引力，这种吸引力使得无数数学家为此狂热，穷极一生也想将其解决。

这便是精神，求知的精神，无畏的精神。

plel 网友的相关建议:
法国的防空导弹系统aster不是应该叫紫菀吗？aster不是一种野菊花的意思吗？为什么在网上几乎所有消息中都写作紫苑？

3³+4³+5³=6³，只是个巧合吗? 的其他答案点击这里

3³+4³+5³=6³，只是个巧合吗? 第1页

先说结论，不是。

也就是说，所有的数学结论，结果都是一开始就定好的，只是说我们知道或者不知道，它是对还是错而已。

它不是巧合，因为数学本身就不存在巧合。

我们更喜欢用另一个词来描述它：一般化。

回到最初的问题，这是巧合吗？

这便是精神，求知的精神，无畏的精神。

相关话题

前一个讨论

下一个讨论

相关的话题