有哪些不同的物体,他们沿所有轴的转动惯量都相同? 第1页

其实题主的问题描述有一些歧义，到底是

“举例出两个物体，它们的形状不同，但是沿着任意一个指定方向他们二者的转动惯量都是相等的”，将引号里的步骤重复N次。

还是

“请举例出一个物体，它对于任意两个方向的转动惯量都是相等的”，将引号里的步骤重复N次。

不过这不影响我的回答，因为其实只要回答了第一种诠释并给出判断方式和构造方法，那么将一个物体设为球体，就也回答了第二种诠释了。

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（以下内容默认读者有线性代数知识和简单的张量概念）

过质心的转动惯量为一个二阶对称张量。

也就意味着，实际上，如果可以旋转坐标轴（等价于调整物体的朝向），任何刚体的转动惯量可以只用其3个特征值来表示。（特征向量必然相互正交，我们把他们调整到平行于坐标轴就行了）

这样一来，也就是说，任意两个刚体，只要他们转动惯量的三个特征值都相等，那它们的旋转特性就完全相同。

比如，根据对称性易知:正方体的三个对称轴一定是其转动惯量的特征向量。它们也一定相等。那么，根据上面的结论，均匀正方体沿各个轴的转动惯量都相等。和均匀球体是一样的。

而如果旋转轴不过一定质心，那么再追加条件“保证总质量相等”就可以了。

其实，一个有趣的结论是：

任意一个刚体的转动惯量特征，都可以用一个中心质点和三对在相互垂直轻杆上的质点模拟。

上图这个模型，三根轻杆相互垂直。三组质点到中心的距离相等且固定等于1。

我们只需要调整m0,m1,m2,m3这四个数值的值（可以改成0），就可以让这个模型和任意刚体有等价的静力学特性了。四个数值的四个自由度可以映射到3个本征值+1个总质量上，刚刚好。

=========下面是给高中水平读者看的版本=========

首先，一个物体的转动惯量是究竟什么？
初步的定义就是角动量和角速度之比。

但是，首先，这个值和角速度的方向有关，某些方向这个比值更大，某些方向这个比值较小：

如上图，是一根筷子。显然，绕着红轴转比绕着绿轴转角动量更大。

有些时候甚至角动量和角速度不在一条线上：

如图，对于这根筷子，角速度和角动量方向不一致。

但是一个可以利用的特性：

根据角动量守恒定理，如果角速度ω，转轴不过质心的话，那么

角动量=转轴过质心情况下角速度ω对应的角动量+质心相对于转轴的角动量

这就是说，我们只要知道转轴过质心的情况就可以了，其它情况只需要再加一个质心角动量就行了。

接下来我们所有的讨论都是在基于“转轴过质心”的前提下得到的。

我们要更加完善地描述刚体的旋转特性，我们应该说：

转动惯量是一个从角速度矢量到角动量矢量的映射

是一个自变量和因变量都是三维向量的函数，可以表示成：

L=I(ω)

（知乎公式加不了上箭头，我这力用“加粗+斜体”表示向量）

这表示对于某一个物体，都存在一个从向量到向量的函数I()，在其角速度为ω时角动量为I(ω)。

通过角动量的定义，结合微积分，我们可以得到函数I()的一个性质：

对于同一个物体，任意角速度ω1，ω2对任意实数A,B，都有
I(A·ω1+B·ω2)=A·I(ω1)+B·I(ω2)

数学证明过程略，有兴趣的话可以作为课后作业推一推，过程并不难，但是有些繁琐。

蛮族上面条件的函数我们称之为是“线性的”，数学上易证（同样，证明过程略），这样的函数一定可以用以下方式表示：

由于物理上的限制，显然其中 ， ， 。

那么，实际上，不管任何物体，他的 “角速度-角动量”关系都只需要6个实数就可以描述了。

也就是说，只要两个物体满足了这6个实数相同，那么对于任意轴，它们的转动惯量就都是相等的了。

那能不能进一步简化呢？

当然可以！

如果我们对坐标轴进行变换，（根据线性代数知识可证）我们一定可以找到一个坐标轴，在这个坐标轴下，满足：

此时的x轴、y轴、z轴的方向被称为“转动惯量的本征向量方向”，I1,I2,I3被称为“转动惯量的本征值”。

同样，根据物理实际意义，我们可以知道：

换句话说，这三个数长度的线段可以组成三角形。

那么现在情况变得更简单了，只要两个物体满足了这3个实数相同，那么进行朝向调整之后，对于任意轴，它们的转动惯量就都是相等的了。

以上这个条件是非常容易满足的，比如球和正方体和球壳和正四面体……（自己的三个本征值都相等）、圆环和五角星和大饼和正棱锥……（自己有两个本征值相等）、尺寸合适的球拍和十字架和长方体……（自己的三个本征值都不等）。

以上我们考虑的是转轴过质心的情况，再考虑转轴不过质心：只需要继续追加条件“保证两个物品一样重”就行了。这样条件稍微苛刻一些，但是也并不难达到。

==================构造===================

比如对于任意一个我们已经知道这四个参数的物体，在满足题主的要求的情况下，我们可以构造这样一个东西：

改变球的半径和臂的长度（保持三个镜面对称面），可以形成任何的“本征值-质量”参数搭配。和原来的物体有完全一样的特性。