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在正整数 n 充分大的时候,|sin(n)|>1/n 是否成立?是否有证明或者反例? 第1页

  

user avatar   li-peng-cheng-84-13 网友的相关建议: 
      

@寨森Lambda-CDM@dna049 答案的基础上提供一些(毫无技术含量的)改进. 如有舛漏,还望指正.

首先我们留意到如下定理:

对于任意无理数 ,存在无穷多(正)整数对 ,使得 .

故 .

因此我们知道有无穷多个正整数 使得

.


这个结果似乎仍然可以继续改进. 引理中的 是任意无理数. 如果我们可以排除一部分特殊的无理数,那么引理中不等式右侧分母的常数最多可以改进为3. 参见:

在 不属于这些特定无理数的假定下,将有无穷多个正整数 使得 . 至于如何从 改进到 ,恐怕还要另请高明.


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概述

我并未解决这个题主的问题,下面将证明稍弱的估计 (定理1)。这个问题实际上与 的irrationality measure有关:如果证明了 ,就能直接推导出 (定理3)

对于一般的情形 ,目前没有好方法得到它的值。(定理2的方法表明 时该下极限等于 )


回顾irrationality measure的定义

由于超越数的irrationality measure至少是2( ),因此我们有:

引理1 存在无穷多整数对 使得

有如下比题主的命题稍弱的结果:(有了引理,证明就比较trivial)

定理1 存在无穷个整数 使得

证明:由引理,存在无穷多整数对 使得 。此时 ,并且有

定理2 对于任何 ,存在无穷个整数 使得

证明:由引理1,有无穷个整数 使得 。当 充分大时, ,即证。

定理3 如果在 充分大时 ,那么

证明:反证。设 ,则仿照定理1的证明过程可以得到存在无穷个整数对 使得 ,但当 充分大时 ,这与条件 充分大时 是矛盾的。


从定理3我猜测,原命题很可能是假的。(因为是否有 目前来说还是个开放的问题)


【附】关于定理1,

@dna049

考虑的是,给出更好的估计:存在无穷使。能否用类似的技巧,将分子上的降到,是本题的关键所在。




  

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