在 @寨森Lambda-CDM 和 @dna049 答案的基础上提供一些(毫无技术含量的)改进. 如有舛漏,还望指正.
首先我们留意到如下定理:
对于任意无理数 ,存在无穷多(正)整数对 ,使得 .
故 .
因此我们知道有无穷多个正整数 使得
.
这个结果似乎仍然可以继续改进. 引理中的 是任意无理数. 如果我们可以排除一部分特殊的无理数,那么引理中不等式右侧分母的常数最多可以改进为3. 参见:
在 不属于这些特定无理数的假定下,将有无穷多个正整数 使得 . 至于如何从 改进到 ,恐怕还要另请高明.
概述
我并未解决这个题主的问题,下面将证明稍弱的估计 (定理1)。这个问题实际上与 的irrationality measure有关:如果证明了 ,就能直接推导出 (定理3)
对于一般的情形 ,目前没有好方法得到它的值。(定理2的方法表明 时该下极限等于 )
回顾irrationality measure的定义
由于超越数的irrationality measure至少是2( ),因此我们有:
引理1 存在无穷多整数对 使得
有如下比题主的命题稍弱的结果:(有了引理,证明就比较trivial)
定理1 存在无穷个整数 使得
证明:由引理,存在无穷多整数对 使得 。此时 ,并且有
定理2 对于任何 ,存在无穷个整数 使得
证明:由引理1,有无穷个整数 使得 。当 充分大时, ,即证。
定理3 如果在 充分大时 ,那么
证明:反证。设 ,则仿照定理1的证明过程可以得到存在无穷个整数对 使得 ,但当 充分大时 ,这与条件 充分大时 是矛盾的。
从定理3我猜测,原命题很可能是假的。(因为是否有 目前来说还是个开放的问题)
【附】关于定理1,
考虑的是,给出更好的估计:存在无穷使。能否用类似的技巧,将分子上的降到,是本题的关键所在。