在正整数 n 充分大的时候，|sin(n)|＞1/n 是否成立？是否有证明或者反例？ 第1页
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li-peng-cheng-84-13 网友的相关建议:
在 @寨森Lambda-CDM 和 @dna049 答案的基础上提供一些（毫无技术含量的）改进. 如有舛漏，还望指正.
首先我们留意到如下定理：
对于任意无理数 ，存在无穷多（正）整数对 ，使得 .
故 .
因此我们知道有无穷多个正整数 使得
.
这个结果似乎仍然可以继续改进. 引理中的 是任意无理数. 如果我们可以排除一部分特殊的无理数，那么引理中不等式右侧分母的常数最多可以改进为3. 参见:
在 不属于这些特定无理数的假定下，将有无穷多个正整数 使得 . 至于如何从 改进到 ，恐怕还要另请高明.
zhai-sen-8 网友的相关建议:
概述
我并未解决这个题主的问题，下面将证明稍弱的估计 （定理1）。这个问题实际上与 的irrationality measure有关：如果证明了 ，就能直接推导出 （定理3）
对于一般的情形 ，目前没有好方法得到它的值。（定理2的方法表明 时该下极限等于 ）
回顾irrationality measure的定义
由于超越数的irrationality measure至少是2（ ），因此我们有：
引理1 存在无穷多整数对 使得
有如下比题主的命题稍弱的结果：（有了引理，证明就比较trivial）
定理1 存在无穷个整数 使得
证明：由引理，存在无穷多整数对 使得 。此时 ，并且有
定理2 对于任何 ，存在无穷个整数 使得
证明：由引理1，有无穷个整数 使得 。当 充分大时， ，即证。
定理3 如果在 充分大时 ，那么
证明：反证。设 ，则仿照定理1的证明过程可以得到存在无穷个整数对 使得 ，但当 充分大时 ，这与条件 充分大时 是矛盾的。
从定理3我猜测，原命题很可能是假的。（因为是否有 目前来说还是个开放的问题）
【附】关于定理1，
考虑的是，给出更好的估计：存在无穷使。能否用类似的技巧，将分子上的降到，是本题的关键所在。
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