函数方程 f(xy)=f(x)+f(y) 的严格解是什么？解是否唯一？ 第1页

柯西方程的解要么连续，要么在平面上稠密，因此任何能够推出不稠密的性质都可以推出连续。比如说某一点附近连续，某一点附近有界，某一点附近有下界，之类的云云。题目里的解就是唯一的。

这个函数方程可以明确被解出来（见分割线后的详尽解答，答案是对数函数），它是柯西（Cauchy）方程通过简单变换得到的，而解柯西方程的方法有时被称为柯西（Cauchy）法。

注 1：这些内容，实际上在一些经典的高中数学竞赛书中已有介绍，例如

注 2：问题描述中有“连续”这一条件，所以解出的函数是规则的。若去掉这一条件，则有一些特别的解，具体可见（需要科学上网？） https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation。

注 3：问题描述中的“连续”也可改为“单调”或“在某段区间上有界”，解出的函数仍是一样的，解法也类似。

我们现在来说明下述三种函数方程 (本题为第三种) 都可以变换为 这种标准形式:

对第一个方程, 取 即有

对第二个方程, 取 即有

对第三个方程, 取 即有

因此, 只要解出了 为线性函数, 则 (比如) 本题 (作为第三个方程) 中,

即对数函数. 下面只须再解决 的情况.

柯西 (Cauchy) 方程 (在某点连续)

设 满足以下条件:

1. 可加性: .
   
2. 连续性: 对所有 , 当点列 时, .

证明: 存在实数 使得 .

证明

思路是逐步考虑正整数, 整数, 有理数, 最后根据连续性得到实数的情况.

具体地, 令 得 . 设 .

对正整数 有

对负整数 , 有 为正整数, 故

对有理数 有

即

而对无理数 , 只须取有理数列 , 由连续性知

但另一方面,

故 . 综上得证.

更进一步的系统内容的学习, 见:

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  drawsky 网友的相关建议: 
      

看了些答案，凡是用到微分，又不证明 可微的，都是不严格的。因为函数连续不一定可微。

根据 可以得到：

2.

3.

4

综上可得： 成立.

由于 在正实数域是连续的，进一步可以将 由有理数域 拓展到实数域 ： 即： 成立。

大致证明如下：

由实数的性质，任意的实数 ,总存在一个有理数数列 ,使得：

两边同乘 ：

又因为 是连续的，根据连续函数的定义有：

得到： 成立。

这样就得到了：

确实是对数函数，或者 ,没有别的可能了。

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  mathliker 网友的相关建议: 
      

我努力工作，年收入突破百万。我楼下小卖部老板眼红了。

他说他每天7点开店，晚上10点关店，工作时间比我长，收入却比我低，这不公平。为此，他甚至发展出了一套小卖部老板人权理论，要求将卖给我的可乐从一瓶2块钱涨到100块钱。

他说之前他受太多委屈了，等他觉得委屈弥补回来了，他会把价钱降到一瓶4块钱的。但想像原来一样2块钱一瓶那是永远不可能的。

我默默想了一下，走多一百米，用2块钱在另一家店买了一瓶可乐。

这件事被小卖部老板知道了，他生气了，他跑去骂另一家小卖部老板，骂他不尊重小卖部老板人权理论，并且在我家楼下贴大字报隐晦地骂我。

你说我为啥讨厌他？

我不只讨厌他，我甚至想报警呢。可惜警察说这事他们管不了。

……

这件事还有后续。

后来，小卖部老板人权组织找到了我，跟我说我楼下的小卖部老板的小卖部老板人权理论不是正宗的，他们才是正宗的。

我说，那你们的是怎么样的？

他们说，我们卖3块。

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