记 的收敛半径 , 的收敛半径 , 则柯西乘积 , 其中 . 对任意 都有
根据收敛半径定义, , 则 是有界数列,且
那么对任意 ,
记 的收敛半径为 , 则根据定义 . 由于 是 中任意实数,可得 . 证毕