为什么极限理论是基于实数的完备性？ 第1页

谢邀。

极限理论成立的前提至少要回答三个问题：

• 在何种环境（数域）中探讨极限？
• 极限存在吗？
• 极限具有可操作性吗？

实数域

事实上不是所有数域上都能讨论极限，就比如在有理数域 上，以下数列没有极限

小明这时候会立即说，那就在实数域上讨论极限啊，谁跟你在有理数域上墨迹了？

于是我们接着问：何为实数？

小明：…

小明仔细回想初中课本（初一数学第一章讲的内容就是实数）：实数分为有理数与无理数；实数能与数轴上的每一点一一对应……

小明讲得很好，他的第一个观点偏于实数的代数观点，第二个是纯几何观点，其实最后还差一个分析观点。代数观点概念清晰，可是有理数与无理数明明是你中有我我中有你（稠密），但却被无情地拆散，对于实数的看法不具有统一性；几何的观点非常形象，只是对于人眼不能察觉的精微之处力所不及。好理解，但说不清。

各有所长。

实数的分析观点有很多，最基本的是戴德金定理^[1]。形象地来说，戴德金发现，如果没有无理数，那么数轴上将会有很多“空隙”；如果用无理数填补上，那么会得到一根完美的直线，它稠密且连续不断。这一填补的过程就叫做实数的完备化。

极限存在性

能够看得出，实数的完备性保证了数列极限不会跑到数轴的“空隙”中去。利用戴德金定理，可以证明确界原理、阿基米德公理成立，学过数学分析的人都知道，紧接着就可以推出其他五条实数公理了。其中尤其是柯西收敛准则，提供了数列收敛判别非常实用的方法。并且极限的定义也可以很自然地过渡而来（利用三角不等式）。事实上，收敛的数列我们干脆称之为柯西列，利用柯西列的概念，也可以给出实数的另外一种观点^[2]：将等价的柯西列的极限视为实数，所谓等价，就是数列的极限相同。

极限的可操作性

我这里所谓的“可操作性”含义是模糊的：一方面我是指极限的定义是否具有可操作性，并非过分抽象或是感性的；另一方面，我是指极限的运算是否具有可操作性，这一点是显然的，因为，我们对待极限，和对待一个实数的态度几乎没有分别，正如前文关于柯西列的讨论。

总结

我的讨论可能不够全面亦细节全无，但是极限立足于实数公理的过程相信有目共睹，这个简短的回答算是力所能及。

参考

1. ^ 菲赫金哥尔茨《微积分学教程》（第一卷）绪论
2. ^ 《陶哲轩实分析》第五章