请问这个三重积分怎么计算？ 第1页

各位看官大家好，是我，美⑨(*^▽^*)

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恭喜提问者，你成功的发现了 Ahmed积分 (Ahmed integral) 的计算方法之一(σﾟ∀ﾟ)σ..:*☆
这个式子通过换元不难得出等价于

如果我们通过暴力强行积分算掉两个变量（比如 ）

可以强行分别对 算，也可以作换元

下面分别演示一下（大嘘）|ू･ω･` )

然后再换一下 , 对 求积分ヽ(￣▽￣)ﾉ

对于 那一部分，直接暴力分部即可(ﾟ▽ﾟ*)

然后两式相加即可得ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ

然后代入

我们就得出了Ahmed积分的一种形式ヾ(๑╹◡╹)ﾉ"

另一种方法也是可行的而且计算量会小不少，就是做换元
来，咱画个图ヾ(^∀^)ﾉ

上面这个图是用 码的，就凭这个你就得给我点个赞（、(◕ᴗ◕✿)

我们可以得到(ﾉﾟ∀ﾟ)ﾉ

然后先对 算一下不定积分（凑微分）ヾ(^Д^*)/

所以定积分(✧◡✧)

然后对 积分，得到同样的结果(*´・ｖ・)

其实Ahmed积分的一般形式是这个：(⁎˃ᴗ˂⁎)

其中

其中比较常见的一类就是Ｏ(≧▽≦)Ｏ

在这一题里面 ( 因为 本质是一样的)

问题转化为了这个φ(≧ω≦*)♪

（很明显三角换元什么的常规技巧似乎不太行，那咋办？）Σ (ﾟДﾟ;)

觉得哪一块难处理？(꒪Д꒪)ノ

是不是( • ̀ω•́ )✧

这一部分似乎好丑啊，怎么把它整漂亮一点？o(￣▽￣)ｄ

想到

似乎给我们提供了一条路( ･´ω`･ )

然后回到原式╰(￣▽￣)╭

似乎有点对称，我们把 互换(*￣3￣)╭

不如我们相加除以二吧（ㄟ( ▔, ▔ )ㄏ ）

然后发现后面可以约分？(=ﾟωﾟ)ﾉ

然后爽了，我们可以分开来算(灬°ω°灬)

似乎就搞定了（？）●ヽ(ﾟ∀ﾟ)ﾉ●

没错确实搞定了∑d(*ﾟ∀ﾟ*)

我们得出结论（◑▽◐）

就这么结束是不是有点仓促（(Ｔ▽Ｔ)）

再写一下推论吧(^o^)／

由于

所以

理论上来说应该是结束了，但是我还想水一水（ε≡ (๑>₃<)

比如除了这种方法还有其他方法没有？[・_・?]

当然是有的（笑），否则我不会继续水(*๓´╰╯`๓)

我们还可以含参解决，比如我们令

我们要求的就是
现在我们对 求导

哦哟，有希望，积分回去？

似乎不大行，∑(O_O；)

试试倒代换吧

然后对 使用倒代换，然后我们惊奇的发现

Amazing!~~~(@[]@!!)

所以说

我们从另一个角度证明了我们的结果是正确的

啊终于写完了，不点个赞再走嘛？(￣▽￣)~*