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如下图，这个级数如何求出来呢？第1页

herik-49 网友的相关建议:

提供一个基于留数的方法。

首先我们把原问题中的级数扩展一下，考虑如下的级数

简单地观察可以发现，对于整数，有，因此这个新的级数等于原题中级数的两倍。

现在我们定义一个新的函数

容易看出每个整数点均为的一个极点，且它在每个整数点上的留数分别等于我们定义的级数的每一项，也就是说

此外还注意到，也是一个极点，因此我们在复平面中画出所有极点的分布

图中星号代表函数的极点，级数中的每一项分别对应了蓝色极点处的留数，每一个小圆路径均沿逆时针，将这些路径进行合并，并利用函数在无穷远处去的衰减性质，我们得到下面一个新的路径

注意红色极点的留数并不包含在级数中，因此路径在处绕了个弯。这样沿着新的积分路径，我们立刻可以看出在其上的积分等于

根据在的Taylor展开容易求出在这一点的留数为 ,

因此级数 ,

所以原题中的级数等于。

利用这样的留数法可以十分方便地解析计算一大批级数问题，更多细节可以参看Walter Appel的《Mathematics for physics and physicists》中4.6.e小节。

zhong-shan-15-34 网友的相关建议:

将，展开为级数，得到

将代入，得到

移项就得到了

当然，如果你会函数，还可以有

实际上这应该是Dirichlet—beta函数.还有别的做法，比如转换为积分

或是留数定理（我⑧会）

还有更一般性的结论，链接丢在这里了

myaries10000 网友的相关建议:

首先介绍狄利克雷beta函数（Dirichlet beta function）：

而题目正是求的值。

其实这个函数在处的函数值都有 ，本文的目标就是把他们统统都求出来！

显然，（卡塔拉常数）

下面进入复变的世界，坐稳喽————

令，其中为正整数。构造一个正方形围道：

这函数在全平面的奇点是以及，注意这个是级极点。

计算留数：

注意到欧拉数定义： ^[1]

所以：

根据它，我们可以求出：

所以

由留数定理：

而 ^[3]

现在，令，则式变为：

解得：

然后可以开启开挂模式了：

……

附：前几个欧拉数（都为零）

参考

^欧拉数（维基百科） https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euler_numbers
^请问这四个展开式是怎么来的？ - Aries的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/398250488/answer/1263706418
^初三党搞积日常（2）——从复变角度解决巴塞尔问题（The Basel Problem） - Aries的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/143842181