为什么自然数的和等于 -1/12？ 第1页

前段时间收到一位热心读者的邮件。信中提到，如果认定1-1+1-1……=1/2为事实，就会得出1+2+3+……=-1/12这样难以令人理解的结论。这位读者所提及的自然数求和问题，恰巧在量子理论和弦理论中都起到颇为重要的作用。从真空的能量，到时空的维度数量，都与自然数之和有着微妙的联系。在这个小小的数学魔术里面，甚至还隐含着时空不连续的秘密。

撰文 | 董唯元

数学老师曾告诉我们，只有收敛的级数才能求解无穷项之和，然而在一些科普书中，却会遇到一个神奇的求和：

所有自然数之和怎么会是负数，而且还是个分数？这到底是人性的扭曲，还是道德的沦丧？

把对称轴当作级数和

想要理解这个古怪的结论，我们先来看一个简单的例子：1, -1, 1, -1, ……这个序列可以求无穷项之和吗？意大利数学家格兰迪（Dom Guido Grandi，1671-1742）早在1703年就开始认真琢磨这个问题，可以说，这是所有发散级数求和研究的起点，这个序列后来就被命名为“格兰迪级数”。

意大利数学家格兰迪丨图源：维基百科

也许有小伙伴猜测，这个序列中1和-1的数量既然同样多，那么总和就应该等于0。可惜这样的猜测是错误的。无穷集就像个再生能力很强的变形虫，部分与整体同样多。我们从序列中拿走任意个1或者-1之后，剩下的1和-1数量仍然相同。如果所剩下的1和-1加和为零的话，那么岂不是总的求和仅由先取出的1或-1的数量决定——也就是任意整数。这显然太不靠谱了，看来压根不能依靠比较1和-1的数量来求和。

还有个办法，就是借助收敛的级数寻找线索。我们知道，在|q|<1时，

现在我们粗暴地让q=-1，于是就出现了

这个结果似乎还能令人接受，可是，q=-1毕竟是个“不合法”的条件，我们需要更合理的途径来安抚内心的不安。如果把这个级数的前n项和记做A(n)，我们现在动手来求 A(∞)。

哈！根据这个等式，我们又一次得到了 A(∞)=½ 的结果。这回貌似没有明显违法的地方了，警察来了也不怕。可是，总还是感觉哪里不对。

A(1)=1

A(2)=1-1=0

A(3)=1-1+1=1

…

可以看出A(n)在1和0之间来回跳动，按照极限的定义，

这个极限不存在。当我们写下A(∞)这个符号时，它究竟指代什么，还没有清楚的定义。其实这也是发散级数求和的基础问题：如何定义发散级数的和。

相关的定义不止一种。大体来说，主要有切萨罗求和与阿贝尔求和两类，另外拉马努金和黎曼等人也发展出许多更一般性的理论，中间还掺有源自欧拉的诸多贡献。那些数学语言虽严格，但催眠和劝退的副作用也不小，所以本文不打算纠结于那些从集合论谈起的基础定义，只使用非常“物理”的视角来定义： A(∞)表示所有 A(n)的平均值。

以“平均值”定义的求和方式，使许多发散级数都可以进行求和。例如

1-2+3-4…

这个级数，也可以用同样的方法直接用眼睛瞪出结果。我们用B(n)表示前n项和，即

，那么

B(0)=0

B(1)=1

B(2)=1-2=-1

B(3)=1-2+3=2

…

把这些B(n)所对应的点画在图上之后，完全不需要动笔计算，用眼睛就可以直接看出所有B(n)的平均值是1/4。

如果只看图还不放心，我们也可以借助前面 A(∞)=½ 的结论来推算 B(∞)：

稍微调整等式右边的计算顺序，先让前面括号内第n项减去后面括号内第n项，然后再做加和。

即

A(∞)-B(∞)=B(∞)

所以

B(∞)=½A(∞)=¼

把自然数之和变成-1/12的魔术

当然，画出点来再用眼睛直接瞪出结果的方法，有时候也需要一些技巧。就以全体自然数之和为例，我们同样地令C(n)代表前n项和

麻烦出现了！显然C(n)对应的点都分布在一根上扬的抛物线上，没办法直接看出平均值，而且看起来压根就不存在有限的平均值！别急，我们可以继续变形。

这样我们就把每个C(n)对应的点，都拆成上式中绿色项和紫色项所对应的两个“半点”分别画出来，居然又可以凑成两条对称的曲线。

当我们把无限个“半点”都辛苦画完之后。就可以指着两根曲线中间的对称轴宣布：

因为所有C(n)的平均值就等于所有“半点”的平均值，而两根曲线上的“半点”分布完全对称，只在绿色曲线的开头位置差了一个无关紧要的0。

除了看图猜值，我们也可以借助刚才的 B(∞)=¼ 那个结果，再来计算一遍 C(∞)。

调整顺序后

于是得到

所以

其实，能够得到 -1/12 这个结果的途径还有许多。例如神奇的Zeta函数

这个以复数s为变量的函数，因著名的黎曼猜想及其与数论的紧密联系而被反复研究。数学家们可以写出这个函数的许多种变化形式，其中一种解析延拓到全部复平面的形式是

用这个形式也可以计算出

既然经过这么多五花八门的方式，都殊途同归到 -1/12 这个结果，我们是不是可以把 1+2+3+…=-1/12 这个式子堂而皇之地写进中学课本中呢？相信许多人会跟我一样，对此仍惶恐不安。因为在前述所有推演过程中，都埋藏着一个颇为隐蔽的问题，那就是等号的意义。将

或

直接写成

似乎理所当然，但其实两个式子中，前面的“=”代表的是“定义为”，而不是量值相等。所以，更清楚的写法应该是

和

这样就能看出，-1/12 这个数值，并不像1+1=2那样自然天成理所应当，而是需要事先假定“全体自然数之和是一个确定的数”，然后再精心挑选出一个逻辑自洽性最好的数值，指定其为全体自然数之和。只不过当逻辑自洽性和直觉发生明显冲突的时候，我们都会感觉惊诧，这在数学发展的道路上已经不是什么新鲜事了。

伸向无穷大的剪刀

前面的讨论中，我们直接无视了数学极限概念，粗暴地使用平均值当做发散级数的和。现在让我们重新捡起极限概念，从另一个角度看看-1/12是怎么跑出来的。

对 C(n) 这个发散级数，我们可以引入某个剪刀函数 f(x) 来压制那些趋向无穷大的项，从而使发散的趋势在某个特定的位置N附近停下来，并最终收敛到某个极限S(N)。这样我们就用标准的极限概念构造出一个S(N)，当N有限时，S(N)是个有限值，而当N趋于无穷大时，S(N)就对应着全体自然数之和。

通过数值计算，我们发现S(N)随着N的增加而奔向正无穷。这倒是符合我们先前的直觉了，可是说好的-1/12呢？别急，我们再把S(N)用1/N展开看看。我们发现S(N)在大N的数值结果，可以被下面的展开式很好的拟合

哈！居然又看到了这个-1/12，它是S(N)展开式中的常数项。也就是说，在S(N)中与N的变化无关的成分，就是-1/12。当N足够大时，那些含1/N的项都可以忽略，S(N)可以被看做一根最低点在-1/12处的抛物线。

我们再取剪刀函数 f(x)=e-x 试试。此时

这个求和可以严格计算出来。我们先对下面的等式两边求β的导数

可以得到

同样在大N条件下做1/N展开，就得到

取β=1就得到

同样也出现了常数项-1/12，而且也是根下垂到-1/12处的抛物线

如果 f(x) 直接取为跳变函数，也就是在 n=N 处突然截断，那么

就不会有-1/12这个常数项。

看起来，除了跳变函数的突然截断，其他平滑的截断方式都能得到

这个有趣的结果。这似乎是告诉我们，全体自然数之和即使注定无法摆脱走向无穷大的宿命，却出于某种神秘的理由一直对-1/12情有独衷。亦或可以说，

发散项只是平庸无奇的底色，而-1/12才是刻写在底色上的性格内核。

真空的能量

站在实用的视角来说，我们有时候需要像使用收敛级数一样处理自然数之和，所以就不得不找到某个确定的“缰绳”来驾驭。比如在研究真空能量的时候，物理学家就遇到了全体自然数之和，而且非常希望这个和是个确定的数。

在量子场论的理论模型中，真空就像一张立体弹簧网，由无数小弹簧横纵交织而成。而所谓粒子，就是其中某些小弹簧的振动足够剧烈，以至于远远望去以为弹簧网中出现了什么异物似的，但只要凑到近处就会看出，那里除了振动本身别无他物。也就是说，粒子本质上就是真空的振动。因此，当能量变化时，粒子的数量不必受任何守恒律的约束，可以凭空增加或者减少。不过，粒子能否产生或消失却与小弹簧的振动频率有关。在振动频率为ω时，粒子数n与场的能量E之间存在这样的关系：

从关系式可以看出，真空每攒够一份ћω大小的能量，就会产生出一个粒子；反之每减少一份就会擦除一个粒子。或者干脆说，每个粒子其实就是个ћω大小的能量包。有趣的是n=0时，它对应着真空里没有粒子的情况，此时能量是½ћω。也就是说，当真空的能量低到不能再低的时候，能量仍然不是0，这就是真空零点能。下面我们来具体计算一个有限空间内的真空能量，看看它与全体自然数求和到底是什么关系。

我们知道，两端固定的弹簧上只能存在驻波，即波长的整数倍恰好等于两端距离的波，因为只有这种波在来回反射过程中可以维持能量，其他形式的波都会自我消减。导体对于电磁场也有一模一样的作用。在距离为L的两块金属板之间，只能存在波长恰好为 λn=L/n 的电磁波，其中n是正整数。每个这样的电磁波频率为

将所有频率的零点能累加起来，真空中总能量就是

瞧，自然数之和

就这样出现了，现在你应该能够理解，物理学家们是多么希望

是个确定数值了吧。更有意思的是，如果姑且憨憨地认为自然数之和就是-1/12的话，我们甚至可以设计一个物理实验来验证这个结论。

如下图这样放置三块相互平行的金属板，使甲乙之间距离为a，乙丙之间距离为b。

根据刚才的结论，我们知道甲乙之间的真空能量是

乙丙之间的真空能量是

现在我们想知道，当a＜b时，中间位置的金属板乙会受到哪个方向的力。根据能量对位置的偏导可以求解受力情况。结果发现：如果

的话，金属板乙会受到一个向右的力；反之则受到向左的力。

其实，实验装置还可以进一步简化，我们可以把最右边的丙拿到无穷远处，只留下甲和乙，然后测量甲乙之间是吸引还是排斥，如果相互排斥，就说明

，反之则说明

。

这个实验设想最早由荷兰物理学家卡西米尔（Hendrik Casimir，1909-2000）在1948年提出，当然提出实验的目的才不是测量自然数之和，而是为了验证真空零点能的存在。事实上，卡西米尔当年在提出这个实验的时候，就已经预言两金属板之间相互吸引，也就是对应

的情况，因为他的理论推算过程已然采用了解析延拓后的黎曼Zeta函数。1996年，华盛顿大学的Lamoreaux用实验证实了卡西米尔效应的存在，论文发表在1997年1月的《物理评论快报》（PRL）上。

需要澄清的是，卡西米尔效应的实验证实，只能说明真空零点能的存在，但是并不能真的用来验证数学意义上的所有自然数之和。其实，现实中的金属板只能阻拦有限频率范围内的电磁波，当频率大过某个数值时，金属板就无法阻拦这种极高频率的波。所以从更精确的角度计算卡西米尔效应时，需要考虑这种高频截断。不过具体计算会用到欧拉-麦克劳林公式和伯努利数这些催眠的内容，本文就不再涉及了。

下面我们转到弦理论，看看所有自然数之和是如何与维度的数量产生关系的。

时空的纬度

前面提到，两端固定的一根弹簧之上只能存在驻波，所有振动频率只能是最低频率的整数倍。对一根两端完全自由的弦来说，结论同样成立。两端固定意味着端点速度为零，而两端自由则意味着端点的加速度为零。二者之间的差别，无非就是傅里叶分解时该写成

还是

而已。也就是说，长度为L的弦，肯定有个像自然数序列一样的离散频率谱

。

另外，弦理论中的量子化方式与量子场论所使用的技术手段如出一辙，所以同样存在

关系。这意味着能量最低的弦并不是完全静止，而是具有

的能量，而且在每一个可以振动的维度上，都有这些能量。

注意，仅具有最低能量的弦不会被当做粒子看待，只能被视为真空。表现为一个光子的弦，至少需要高出基态能量一份大小ћω1的能量。这份能量在一个空间维度上以光速传播，就是一个光子。根据相对论，在这个光子传播的维度上，不再具有振动的自由度，而剩下的空间维度里，弦都还具有基态能量。

假设空间维度数是d，那么一个被激发成光子的弦所具有的最低总能量就是

注意到 ωn=nω1 ，这个光子的总能量就变成了

妥妥的又出现了

。

相对论告诉我们，光子的最低能量应该是零，所以跟相对论兼容的弦理论必须满足

推演到这里，我们就要祭出

这个大招，求解出d=25，也就是空间维数必须是25维，加上时间，总共26维时空。

在超弦理论中，由于超对称因素的引入，弦的基态能量提升为3倍，光子能量约束条件变成了

由此求出d=9，加上一个时间维度，总共凑成10维的时空。

以上就是玻色弦理论要求25+1维时空，以及超弦理论要求9+1维时空的故事梗概，希望读者能借助这些实例，对自然数之和在物理中的作用建立一些具像理解。

离散的时空

为了保持话题的收敛性，前文论述中刻意略过了许多有趣的细节。例如在弦的基态振动模式中，如果存在

的成分，那么必然有

，这就意味着仅在弦的一个振动模式里，就包含了无穷大的能量。同样的，真空零点能的计算中，也会不可避免地含有能量无穷大的成分。这显然都太不合适，我们的理论模型需要有个边界，来防止这种在极高频率方向“紫外灾难”的发生。

之所以能产生无限大的频率，就是因为我们允许存在无限小的波长。那么自然就会意识到，可以消除“紫外灾难”的理论模型中，空间必然存在有限的最小尺度。更直白地说，就是空间不可能是连续的舞台，而必须是离散的梅花桩。这个最小尺度究竟是多少呢？一个天然的候选者，当然就是普朗克长度。

如果某个粒子的波长比普朗克长度还要短，那么这个粒子就会由于具备了太高的能量而把自己就地变成黑洞，而且这个黑洞所覆盖的区域又会超出普朗克长度。于是，普朗克长度就成了现有理论中最为自然的时空基本像素。

于是，先前的

就变成了

我们发现，甲乙板间的能量 Ea 分为两部分，其中一部分与 Na 呈正比，另一部分则呈反比。乙丙板间的能量 Eb 也是同样情况。

显然，呈正比的那部分能量，在乙板左右产生的作用力始终相互抵消，只有第二部分呈反比的能量，才对乙板产生了作用力。由此可见，卡西米尔效应是在两个巨大的首项恰好相互抵消之后，在第二项上显现出的效应，所以这种力异常微弱，只有把两个面积达平方米量级的金属板靠近到微米距离时，才能产生可供测量的吸引力。

现在我们才算真正解释了卡西米尔效应与自然数之和的关系，如果未来再遇到有民科企图用这个实验来证明自然数之和是个负数，尽可以毫不犹豫地送他一个白眼。

我们都知道，从float转int会“损失数据”，那么对于一个无穷级数本身，其所包含的信息量是无穷的，而等号就是类似于“强制转换”的意思。

比如一个式子“1+2=3”，1+2的信息量是大于3的，前者需要两个数字和一个加号，后面只是一个数字，所以知道3并不能确定是1+2或者1+1+1或者4-1。

对于无穷级数，这种现象更明显。等号带来的信息损失变成了一种“不确定的损失”——这取决于保留哪些特征。无论是等于正无穷还是-1/12，都是不同的信息保留方式。

同样的还有无穷小量为什么有时候是0，有时候又不能当0——无穷小量是个变量，0是个常量，当我们保留常量的时候无穷小量就是0，当我们进行变量运算的时候无穷小量不是0而是变量。无穷小量转为0的过程类似于一个float强制转换为int，其类型发生了变化。

同样，无穷级数左侧的“数据类型”和等号右侧的数据类型并不一致，所以根据不同的强制转换规则结果不一样，犹如0.5在int化的时候按不同规则可以等于0或者1一样。

所以自然数之和是-1/12就是这样一个类型转换的过程，只不过在这个类型转换的规则下是这种结果而不是锟斤拷烫烫烫而已。

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我认为这种想法是非常不正常的想法，正确的做法是适应人类与生俱来肉食习惯。人类是一种名副其实的肉食动物，早在古代人类驯化各种动物的根本目的就是为了获得安全可靠的肉类来源。

经过一代又一代的培养，这些驯化动物可以说是越来越领会到人类的情绪也在主动去影响人类的情绪以避免被吃而成为种，这也导致了以牛为首的动物变得越来越“通人性”。

如果是某些所谓的“宗教信仰”或者生理吸收不了的原因而不愿意吃肉的话可以尊重，但是不能向外界宣扬传教，但是其他没有合理理由的一律认定为邪教。

不吃肉人的性格就会过于软弱，只吃肉人的性格就会过于急躁，两者都是属于典型的极端人士的饮食基础。欧美为什么会有那么多左右极端魔怔人？就是因为他们要么就不均衡地吃肉，要么就只吃蔬菜，而中华均衡饮食所以文化一直保持中庸。

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