怎么用正切函数连分数展开式证明圆周率是无理数? 第1页
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这是瑞士数学家约翰·海因里希·兰伯特(Johann Heinrich Lambert)最早做出的证明，也是人类第一次证明圆周率是无理数。https://www.britannica.com/biography/Johann-Heinrich-Lambert
这个证明过程用高中数学足够理解。
在正切函数的无限连分数形式下
我们假设
那么
将分子分母同乘以b
在这个连分数下，分子都是 ，而分母是不断增大的
那么总会有一个 使得 从而 且
设
则
且如果A是无理数，那整个 也就是无理数。
现在我们假设A是有理数，那么
同时
有
两边取倒数，再整理可得
因为 那么设
而同样的 ，所以
以此类推，可以得到一个无限递减的正整数序列
而 是有限大的整数，这样的序列不可能存在，所以A不可能是有理数。
所以 是一个无理数。即有理数的正切值肯定是一个无理数。
最后
如果π是有理数，那么 也是有理数，那么 是一个无理数。
但 ，1 是有理数，矛盾。
所以，π是一个无理数。
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