怎么用正切函数连分数展开式证明圆周率是无理数? 第1页
1
liu-mao-xing-46 网友的相关建议:
这是瑞士数学家约翰·海因里希·兰伯特(Johann Heinrich Lambert)最早做出的证明，也是人类第一次证明圆周率是无理数。https://www.britannica.com/biography/Johann-Heinrich-Lambert
这个证明过程用高中数学足够理解。
在正切函数的无限连分数形式下
我们假设
那么
将分子分母同乘以b
在这个连分数下，分子都是 ，而分母是不断增大的
那么总会有一个 使得 从而 且
设
则
且如果A是无理数，那整个 也就是无理数。
现在我们假设A是有理数，那么
同时
有
两边取倒数，再整理可得
因为 那么设
而同样的 ，所以
以此类推，可以得到一个无限递减的正整数序列
而 是有限大的整数，这样的序列不可能存在，所以A不可能是有理数。
所以 是一个无理数。即有理数的正切值肯定是一个无理数。
最后
如果π是有理数，那么 也是有理数，那么 是一个无理数。
但 ，1 是有理数，矛盾。
所以，π是一个无理数。
1
相关话题
数理金融和金融工程需要修的数学课程有哪些?什么是实数？
如何证明这道有关叉乘的解析几何题？
条件概率属不属于随机变量？为什么？
逐渐丢失对数学的兴趣，怎么办？
魔方运用了哪些数学原理？
数学大牛是怎么看待悖论和无穷的？
你见过哪些美妙的函数图像？
这个公式如何证明？
与1相邻的实数存在吗？
下一个讨论
请问这个式子有没有简便算法（写法）？
相关的话题
所有tanx的所有非零不动点的倒数平方和等于1/5这个怎么证明？各个学科或领域中，有哪些“自我指涉”现象？
有哪些看起来高大上实际上非常容易证明的数学命题？
标记 n 维空间中任意一个点/向量一定要用 n 个坐标吗？
复变函数中，如何说明Ln(z²)与2Lnz是否相等，Ln(根号z)与(Lnz)/2是否相等？
离散型随机变量有没有概率密度？
如何证明不定方程是否有解?
0.9999…是否等于1的一个疑问?
如何评价「泛函、映射、算子、变换都是函数，是搞数学的人骗普通人的把戏」这一说法？实际情况如何？
能不能以“圆周率被证明是一个有理数”为开头写一篇小说？
椭圆曲线群结构结合律证明有没有不爆算的巧妙证明？
如何解决这个数学问题？
如何看待美国数学学会（AMS）即将在其旗下期刊进行数学论文双盲审？
《三宝大战诸葛亮》牛顿为什么会创立微积分，这是正确答案、还是在娱乐、还是在误导？
可微函数在几何上有何特征？
为什么数学里非要写「当且仅当」，而不是「仅当」？
为什么在应用上高斯消元法很少被用来求逆矩阵?
目前数学的符号体系有多混乱？
搞基础数学的人是不是都穷？
康托尔著名的对角线证明？
如何证明 e^π＞23？
一个数减去各位数字之和需要多少次减为 0？
如何理解抽象代数的用途？
关于闭区间上连续函数的一个证明题？
是否存在某些问题不能用有限步骤解决？
实变泛函都是很容易的课，为何说「实变函数学十遍，泛函分析心犯寒」？
怎么证明 n 维表面积公式是 n 维球体公式关于半径 r 的微商？
如何看待《中国学生所谓的数学牛逼》这篇文章？
当数学家刚想出微积分用细矩形面积的和逼近时，矩形的高选取多少呢？为何不怕无限多个小误差之和为大误差？
怎么在不公布证明的情况下让世人相信我证明了「哥猜」?