三体运动的微分方程组是如何列的？既然它没解析解，能否写一下计算过程？ 第1页

谢邀.

“解析解“这个概念是比较宽裕的. 实际上，三体系统的方程组具有 Sundman 级数解^[1].

三体问题的陈述很简单: 求三个质点在它们相互间的 Newton 引力作用下于空间中的运动. 我们给定了其初始位置和初始速度, 希望求出它们以后的运动, 包括预测其轨迹, 时间等等.

这居然是一个困难的问题.

最初使人感到奇怪, 因为类似的二体问题的求解相当简单, 更准确地说, 给定了任意一组初始条件, 可以写出方程的解, 其中所含有的都是初等表达的(就是可以用基本的算术运算以及少数几个标准函数, 如指数函数、三角函数构造出来的表达式), 它能够告诉我们任意位置的速度和对应时间. 当然, 准确地给出关于时间的解也是可以做到的, 只是略显繁琐, 但问题总地归结于所谓 Kepler 方程的求解上. 我们可以说, 对于二体问题, 人类的研究是比较完备的.

然而三体问题是很复杂的非线性问题, 它难以用这种方法来解决, 哪怕把初等函数的定义扩大一些. Newton 自己就怀疑这个问题的精确求解, “如果我没有说错的话, 这超出了人类心智的力量”, 而 Hilbert 在著名的 1900 年巴黎演讲中, 则把这个问题放在类似 Fermat 大定理的同一个范畴里. 这个问题可以推广到任意多个物体, 在这个一般情况下, 我们称作 体问题. 我们将后续再对其作出详述.

请再次注意, 三体问题不是无解的.

所谓“无解”这个刻板印象，多是源于 Poincaré 等人的结果^[2][3]. 然而 Poincaré 说的是，“ 体系统除已知的守恒量^[4]外，没有其他守恒量“，因为当时的学术界多会使用守恒量降低系统自由度，从而简化求解过程，而该论文表明这个方法对于多体问题来说是行不通的. 至于“计算过程”，我估计数百来页的论文你是不想看的，故此处我只简略阐述一下 Sundman 的工作，后期再续写具体的细节.

回忆一下, 质点 作用于 的 Newton 引力的大小为 这里 是万有引力常数, 的质量为 质点间的距离为 作用力的方向则是由 指向 回忆一下 Newton 第二定律: 力等于质量乘以加速度. 现在我们设质点为 和 把 的距离记作 而 的位置的第 个坐标记作 那么就可以用两条物理定律写出三体问题的运动方程为

这里 遍及 这样就有 个标量方程. 它们都是从上面说的物理定律导出来的. 例如, 第一个方程左方就是第一个质点 的加速度的第 个分量, 右边就是作用在 上的力在第 个方向上的分量, 并除以了

如果我们能选择单位制使得 则系统的位能(可以理解为势能)由

给出. 令

就能够把运动方程写成所谓的 Hamilton 形式

这里一共有 18 个一阶微分方程. 因为这个形式的方程组用起来更简便, 所以人们比起 来会更愿意使用

降低一个微分方程组复杂性的标准方法是找它的守恒量, 或者说求首次积分^[5]. 也就是一个对于给定的解保持不变的函数, 而且作为一个积分它会给出变量之间的代数依赖关系. 这就使我们能够把某些变量用其他变量来表示, 从而减少变量的个数, 我们常说叫降低自由度. 三体问题有这样十个独立的积分, 其中的六个是关于质点组的质心的运动的(三个关于位置, 三个关于动量), 还有三个积分表示角动量守恒, 最后一个是能量守恒. 这十个积分 Euler 和 Lagrange 在 18 世纪中叶就已知道, 而在 1887 年, 莱比锡^[6]的天文教授 Ernst Heinrich Bruns (1848-1919) 证明了再也没有其他积分了, 这一点在两年以后又被 Poincaré 改进. 这十个积分再加上“消除时间” 和 “消除结点” (这个过程是 Jacobi 完成的), 就把原来的 18 阶方程组化简为一个只含 6 个方程的方程组, 但是再不能进一步化简了. 所以, 的任何一个通解都不能用一个简单的公式来表示, 我们可以期望的最好结果是用一个无穷级数来表示它. 要想找一个级数使它在有限时间段里工作得很好并不困难, 问题是要找一个对于任何的初始条件和任意的时间区段以及任意长的时间都能够使用的级数, 并且还要考虑到碰撞问题. 三体问题的完全解答需要考虑到这些物体的一切可能的运动, 包括确定是哪些初始条件可能导致二元或三元的碰撞. 因为碰撞是由微分方程的奇性来表示的, 这就意味着要找出完全的解, 就必须了解奇性.

这个问题证明比人们预想的更加有趣. 从方程的形式很明显可以看到, 碰撞会造成奇性. 但是, 是否还有其他类型的奇性就不那么清楚了. 在三体问题情况, Painlevé 在1897 年解决了这个问题: 碰撞是仅有的奇性. 然而, 对于多于三个物体的情况, 答案则不相同. 1908 年, 瑞典天文学家 Edvard Hugo von Zeipel (1873-1959) 证明了非碰撞的奇性只能当质点组可以在一段有限时间内就成为无界时才能出现. 1992 年, 夏志宏就五体问题找到了这种奇性的好例子, 在他的例子中, 个质点分为了两对, 每一对中的两个质点质量相同, 而第五个质点则质量很小. 每一对质点都在平行于 平面的平面上沿着古怪的轨道运动, 而这两个轨道平面各在 平面的上方和下方, 运动方向相反, 然后加进第五个质点, 它的运动限制在 轴上而在这两个对子之间振荡. 夏志宏证明了第五个质点的运动迫使这两个对子的运动远离 平面, 这个质点离开质点对子越来越近以至发生碰撞, 使这两个对子得到一阵一阵的加速度的爆发, 而在这个过程中, 这两个对子被迫在有限时间之内走向无穷.

人们一方面在寻求一般地解决这个问题的方法, 同时也去寻求有趣的特殊的解, 我们定义一个中心构型(central configuration)为一个几何构型不变的解. 第一个例子是 Euler 在 1767 年得到的, 三个质点列在一条直线上而以均匀的角速度绕公共的质心沿圆周或椭圆旋转. 1772 年 Lagrange 得到了另一个解, 其中三个质点位于一个等边三角形的顶点上而绕其质心作匀速旋转. 对于几乎所有的初始条件集合, 这个三角形的大小都在变化, 从而每一个质点都沿椭圆运动.

然而, 尽管发现了一些特解, 而且在一个世纪里对于这个问题进行了范围很广的研究工作, 19 世纪的数学家仍然没有找到通解. 说真的, 这个问题是如此困难, 使得 Poincaré 在 1890 年宣布: 如果没有发现了不起的新的数学, 这个问题是不可能解决的.

但是, 和 Poincaré 的期望相反, 不到 20 年后, 一位年轻的芬兰数学天文学家 Karl Frithiof Sundman (1873-1949) 就使用现有的数学技巧得到了一个对所有的时间 都一致收敛的无穷级数, 从而“数学地”解决了这个问题, 使得整个数学世界大为震惊. Sundman 的级数是 的幂级数^[7], 对于所有的实的 除了初始值在一个可忽略的集合中的情况以外都是收敛的^[8], 而这个可忽略的集合中的初始值对应于角动量为零的情况. 证明过程中会遇到一个重要的瓶颈，即该级数的收敛半径取决于最近奇点^[9]的距离，因此我们须要研究这些可能的奇性. 我们的模型是高度理想的，即不考虑星体半径，均认为是质点. 那么比较显然的是，碰撞情况是难以发生的^[10]. 但在当时，尚未有一个系统的方法去考虑这种初态，以避免碰撞情况对应的解.

对此, Sundman 为了对付二元碰撞, 使用了一种称为正则化的方法, 也就是把解解析拓展到碰撞以后, 但是, 他不能处理三元碰撞, 因为三元碰撞只在角动量为零时出现. 他具体地做了以下讨论：

1. 在正则化过程中适当地更改变量(见举例)，以分析二元碰撞以外的解.
2. 证明了三元碰撞当且仅当角动量 为零时发生. 具体地，考虑限制初态 可以在上述方程组的一个转化形式中略去所有实奇点.
3. 证明若 则不仅没有三元碰撞，并且始终不会出现这种情况. 这也意味着，使用 Cauchy 存在性定理可以良好地解决该微分方程，在实轴^[11]周围的复平面内的一条带状区域^[12]内不存在复奇点.
4. 找到一个保角变换使得这个带状区域被映射至单位圆内.

例　原文考虑 若 则构造

Sundman 的解虽然是一个了不起的数学成就, 却留下了许多待解答的问题. 这个解对于系统的定性的形态没有提供任何信息, 更糟糕的是, 他的级数收敛得太慢, 几乎没有任何实际用途. 想要决定这个系统在一个合理的时间周期中的行为, 进行有意义的^[13]天文学应用, 需要对数量级大约为 的那么多项^[14]求和才有可能, 这种计算明显地是不现实的, 所以 Sundman 留下了许多工作要做, 而关于这个问题 (以及相关的 体问题) 的研究一直延续到今天, 而且不时有令人兴奋的结果出现. 一个新近的例子就是 Don Wang^[15] 在 1991 年对一般的 体问题给出了收敛的幂级数解.

既然三体问题本身已经证明是难于处理的, 所以发展了许多简化的版本, 其中最著名的称为限制性三体问题(这个名词是 Poincaré 提出来的), 而首先是由 Euler 研究的. 在这个情况下, 有两个物体, 称作主星(primaries), 在重力的吸引下绕它们的公共质心沿圆形轨道运动, 而第三个物体, 称作小天体^[16](planetoid), 假设其质量如此之小, 而对另两个物体的影响可以忽略不计, 这个小天体在主星所决定的平面上运动. 这样来陈述问题有一个好处就是主星的运动可以看成是一个二体问题, 从而是已知的; 余下的只是要研究小天体的运动, 这可以用扰动理论来进行. 虽然限制性三体问题可能看起来是人为构造的, 但是对真实的物理情况, 例如在有太阳存在时决定月亮绕地球运动的问题, 把它看成限制性三体问题就是一个好的近似. Poincaré 对于限制性三体问题研究得很多, 而他为了这个问题所发展的技术把他引导到对于数学的混沌(Chao)的发现, 也为现代的动力系统理论打下了基础.

作为一个陈述起来很简单的问题, 三体问题除了其内在的魅力以外, 还有一个性质增加了它对想要解决它的人的吸引力, 那就是它与太阳系的稳定性这个基本问题有密切的关系. 这个问题就是, 我们的行星系统将永远和它现在的情况一样呢, 还是最终它的一个组成的行星会逃逸或者会糟糕地碰撞呢? 因为太阳系里的星体都是近似球形的, 而它们的大小比起它们相互之间的距离有都是极小的, 它们都可以看成是质点. 如果忽略所有其他的力如太阳风或相对论效应, 而只考虑引力, 太阳系就可以用一个十体问题为模型, 这十个质点中只有一个有大的质量, 其余九个都很小, 而可以这样来研究太阳系.

多年以来, 求解三体问题(以及相关的 体问题)的企图, 孵育了大量的研究财富, 结果是: 它的重要性既在于它本身, 也在于它所造成的数学的进展. 这方面的一个引人注目的例子是 KAM 理论的发展, 这个理论提供了一个求积被扰动的 Hamilton 系统的方法, 而且提供了对于无限时间周期也适用的结果. 这个理论是在 1950 和 1960 年代由 Kolmogorov, Vladimir Igorevich Arnold^[17](1937-2010) 和 Jürgen Kurt Moser^[18](1928-1999) 发展起来的.

参考

1. ^ Sundman, Karl F. "Mémoire sur le problème des trois corps." Acta Mathematica 36.1 (1913): 105-179.
2. ^ Poincaré, Henri. Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Vol. 3. Gauthier-Villars et fils, 1899.
3. ^ Bruns, Heinrich. "Über die integrale des Vielkörper-problems." Acta Mathematica 11.1 (1887): 25-96.
4. ^ 即三维质心，三维动量，三维角动量，能量.
5. ^ 亦有代数积分一说.
6. ^ 位于德国东部.
7. ^ Barrow-Green, J. (2010). The dramatic episode of Sundman, Historia Mathematica 37, pp. 164–203.
8. ^ 值得注意的是，使得角动量为零的初态条件是比较特殊的，然而这种情况是「足够少的」，因为其 Lebesque 测度为零.
9. ^ 在三体问题中，这个奇点指的是二体及三体碰撞的情况.
10. ^ 实际上可以证明其总对应一组测度为零的初态.
11. ^ Kovalevskaya 投影.
12. ^ 由角动量决定.
13. ^ 指达到常规科研所需的精确度.
14. ^ 这是一个初步估计：David Beloriszky, D. (1930). "Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps". Bulletin Astronomique. Série 2. 6: 417–434.
15. ^ Don Wang 是一位现在在美国的中国数学家. 他的名字的英文拼写似乎不统一, 例如 Guidong Wang, Qiudong Wang, D. Wang 等等, 中文的写法也没有弄清楚. 请参看一篇文章: Florin Diacu, The solution of the n-body problem. The Mathematical Intellegincer, 1996, 18(3):66-70, 其中不但讲到了 Don Wang 的工作, 更重要的是对 n 体问题的意义和历史作了很精彩的讲述.
16. ^ 这里没有译为“小行星”, 以免与天文学中的“小行星”(asteriod)混淆.
17. ^ 前苏联及俄罗斯数学家. 作有著名本科教材《常微分方程》、《经典力学中的数学方法》等.
18. ^ 德国数学家.