导数 dy/dx 是不是一个整体符号？ 第1页

一、微分

1. 分离变量

首先，定义出发点不同：

但是容易证明，一元函数可导与可微等价，于是 与 可以拆开解释：

这就是解微分方程时，分离变量的理论基础.

2. 流形上的导数

但是我们知道，当 是多元函数时，可微蕴含可导，但反之不然. 可微和可导都关注到了函数增量关于某自变量增量的近似线性增长关系.

当考虑光滑流形 时，在一点 处的切空间 上讨论是十分愉快的.

记 上的光滑函数集 ，任取 ，考虑过 点的光滑曲线 ， ，

全体切向量 构成切空间 ，注意切向量是作为一个映射的存在：

3. 流形上的微分

作为向量空间，它存在一组天然的基.

设 的坐标卡 ：

此为微分同胚. 通过切向量的定义，显然坐标曲线

诱导出一个切向量 ， 构成切空间 的一组基. 于是所有切向量都可以被这组基线性张成

切向量的定义是由光滑函数 诱导， 可视为一维光滑流形；那么对于映射到 维流形， ，同样可以诱导出切映射^[1].

其中 是线性同构，所以我们不加区别地对待 与 ，前者简洁，后者用于计算.

于是有切映射

其中

于是该线性映射在坐标卡 下的矩阵恰是 的 矩阵.

二、积分

就像题主问的这类符号问题， 比如 起初只是形式定义，但是随着后面的数学家不断优化理论，于是有机会对以前的符号进行再观察. 比如积分符号 ，初始定义就是“分割求和取极限”， 就是区间分割的符号化， 就是极限求和的符号化. 但是现代数学对此又有了新的看法. 无论是 还是 ，都源于几何微元（线、面）. 我们将这种微元抽象，用其性质将其固定下来——线性是它的灵魂.

1. 张量（tensor）

的“ ”是什么意思呢？第一反应是“ ”，毕竟是“切空间”嘛，但是在这里理解为“ ”也是可以的. 这个想法了不得，瞬间 上的张量从^[2]丰富了起来：

其中 是 的对偶空间，后面我们还会提到. 张量就是线性函数的集大成者.

设 是向量空间， 张量 是一个多重线性函数：

由张量构成的集合记为 . 显然它是一个向量空间： ，

例如行列式就是典型的张量. 列向量构成的 阶方阵，回忆行列式的初等变换，其中就有多重线性性：

张量积顺便提一下： ,

2. 行列式与体积

说起这行列式，就不得不说行列式和几何的关系——平行多面的有向体积.

以下内容是我抄我自己写的，但其实就是转述大神的思想^[3]（矩阵力 - 三川啦啦啦的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/52821612）：

由解析几何的知识可知，行列式绝对值表示的是 维平行多面体的体积，即
表示向量 、 所围成的平行四边形面积；
表示 、 、 所围成的平行六面体体积；如果矩阵是对角阵，那么意味着所求体积是一个（超）长方体体积.另外， Green 公式的退化版本也可由此初见端倪，考虑平面上一个包含原点、分段光滑的封闭曲线 ，考虑一个以原点以及曲线上两点为顶点微分三角形， ， ，那么这个微分三角形的面积（这里我们考虑有向面积，即面积可为负）：
当我们把这些微分三角形“积”起来，就是曲线 所围成区域 的面积. 这就是 Green 公式——

令 ， 的退化形式.

3. 几何微元与张量

通过行列式，我们将这两者终于联系到了一起，成功回归主题.

行列式重要的性质——反交换性：

我们定义这类张量称为交错张量，交错张量的集合记为 或 .

回到流形 上， 上的基是前文提到过的 ，那么在 上与之对偶的基 ，这样一来就瞬间理解的全微分公式：

这个时候回到积分学中的 公式，引入外微分：

我们称 ， 为 0 形式，也就是标量函数；形如 是 1 形式；形如 是 2 形式……外微分实际上就是从 k 形式到 k+1 形式的线性变换
其中

这个映射和普通微分没有区别。关于外微分、楔积我就不多做介绍了，只要知道两个性质就可以：



利用上面性质，对 求外微分恰为

（格林公式——在你来之前我就已经… - 三川啦啦啦的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/71582821）

由此诱导出的拉回映射，积分换元公式等等就不说了. 另外还有关于同调论^[4]的事实：

……

有了 上同调群就可以理解很多事情了，诸如 公式、 、定理 公式……但是我就不写，诸君就看参考文献吧.

总结

虽然我们可以用更先进的工具理解积分符号——将 视为张量、 形式，但这种理解始终是根植于基本几何事实. 虽然很多内容都是从书上搬运下来的，但是难免夹带一点私货，请大家多多指教.

参考

1. ^ 唐梓洲《黎曼几何基础》
2. ^ GTM218
3. ^ Klein《高观点下的初等几何》
4. ^ 姜伯驹《同调论》

那我要推荐我的一个文章了。完全可以认为，dx和dy是有自己的意义的，可以怎么去解释，请看http://zhuanlan.zhihu.com/p/85849857

这玩意可以拆开，不过严格解释并不方便。