数列「1，2，2，3，3，3，...」的通项公式是什么？ 第1页

写一个零基础就能看懂的推导过程，主要给我的学生看。大神可以跳到最后。

看到这个问题首先想到的是 向下取整函数。

这个运算在美国高中的algebra2里会学，很多国际数学竞赛也会讲到，英文名叫greatest integer function:The greatest integer less than or equal to x.

举个例子 , ,

如果

那为什么向下取整函数可以帮助我们找到这个数列的通项公式？

比如说一个数列是{1，2, 2.5, 3, 3.7, 3.9,}, 我对所有元素都向下取整就可以得到{1,2,2,3,3,3}了！

这样一来问题就很简单了。

我只需要找到一个连续的增函数(continuous increasing function )f(n)，让它满足

当n=1的时候，f(n)=1

当n=2的时候，f(n)=2，

当n=4的时候，f(n)=3

当n=7的时候，f(n)=4

...

那n=3,5,6的时候怎么办？

由于f(n)是个增函数，所以当n=3的时候，2<f(n)<3，再通过取整函数 就可以再得到一个2. 同样的道理， ,直到f(7)=4又开始4的循环。

好了，那f(n)怎么找呢？怎么样把{1,2,4,7...}给映射到{1,2,3,4...}上去？

注意到我们上面提到的{1,2,4,7...}本身是个二次数列。所以这里如果我们先找f(n)的反函数 ，再求解f(n)就简单多了！ 这边再回顾一下f（n）的定义是输入一个位置，输出一个数值，也就是通项公式的本质。 那么 就是输入一个数值，得到一个位置。

n=1,

n=2,

n=3,

n=4,

...

这里可以用二次数列的公式求解得到 ，如果不会二次数列，我们可以稍微想想自己推理一下：

第一个1出现在n＝1的位置。

第一个2出现之前已经有了一个1，所以第一个2出现在n＝2的位置。

第一个3出现之前已经有了一个1两个2，所以第一个3出现在n＝1+2+1的位置。

第一个4出现之前已经有了一个1两个2三个3，所以第一个4出现在n＝1+2+3+1的位置。

第一个n出现之前已经有了一个1两个2三个3四个4...，所以第一个n出现在n＝1+2+3+...（n-1）＋1的位置上。

也就是说 的值等于{1，2，3，4，5...}的前n-1项的和再加上1。 用等差数列求和公式可以得到：

＝（1＋（n-1））×（n-1）/2＋1，化简之后就是（2-n＋n²）/2.

好了，现在找有了 我们可以把f(n)算出来啦。

验算一下，

当n=1的时候，f(n)=1.

当n=2的时候，f(n)=2

当n=3的时候, f(n)=2.561553...

当n=4的时候，f(n)=3

当n=5的时候，f(n)=3.372281...

当n=6的时候，f(n)=3.701562...

当n=7的时候，f(n)=4

...

注意到只有当n=1,2,4,7...的时候f(n)才是整数，而中间得到的那些无理数向下取整之后又可以得到这一阶段的整数。

那么最终数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...}的通项公式就是

首先，我们不妨把题目理解为，数列中为连续n项n的列举，即数列的第项到第项都是n，这样更符合大多数人的认知。

我们可以考虑将第项找出一个单调递增的函数（二次函数的反函数）插值，然后第项到第项就必然介于n和n+1之间，故可以用高斯函数来解决。

求出在的反函数，用初中学过的求根公式即可：

故数列通项公式为。

在excel上试一下：

看起来是没问题的。

我来一个不一样的答案吧，这个答案我相信在OEIS上也搜不到。搜索圆周率小数点后的数字发现：第一次出现"122333"是在小数点后第2103717位到第2103722位。

于是数列的通项公式可以写成

其中符号 和 分别代表 的整数部分和小数部分。

证明：数列的第 项是圆周率 的小数点后第 位，也就是 的小数点后第一位，而小数点后第一位又等于 的整数部分，得证。

此数列在1,2,2,3,3,3之后的项是2,4,1,9,4,7,0,0,……

用类似的方法考虑自然常数 无理数 黄金分割率 欧拉-马斯克若尼常数 和阿培里常数

那么数列1,2,2,3,3,3……的通项公式分别是