在一个球内任取n个点，则这n个点落在同一个半球内的概率是多少？ 第1页

评论区 @纯粹 贴了该问题完整证明的文章，应该是给出了d维情形下的通解，我贴在这里

文章有点长，我还没开始啃……

自问自答，抛砖引玉。

我说明一下我枚举所用的方法。如果有知友能给出这个枚举的结果没有缺漏的证明那就太感谢了。

受 @心月狐 在前一个问题的回答的启发 ，

我也是考虑从直径中选取半径来进行枚举。

以下说明有些冗长，没有兴趣可以跳到末尾看例举的结果。

为便于说明枚举的方法，我们观察 的情况，并对记号做一些定义。首先我们任意选取得到一组半径，使得他们都落在同一个半球里。（这样的选取是存在的，因为任意三个半径必落在同一半球内，而第四条直径必有一端也是在这个半球内的。归纳可知对于任意n，这样的选取都是存在的）我们给这些半径分别标上数字 ，并用 分别表示这些半径所在直径上的另一条半径。选取某条半径所在直径上的另一条半径的操作，我们称为对这条半径取逆。从每条直径上选取一条半径，并将其排列起来得到的称为结果，如 ， 与 都是结果。一个结果被称为是合法的，当且仅当这些“数字”所对应的半径落在同一个半球内，比如 就是一个合法的结果，而 不一定是一个合法的结果。对某个结果代表的所有半径取逆的操作，我们称为对这个结果取逆。

我们发现这样的规律：

1. 对一个合法的结果取逆以后得到的结果依旧是合法的。
2. 如果一个结果是合法的，则将这个结果代表的所有半径所在的半球正对自己，观察这些半径在半球面上的落点分布。为便于说明，我们沿用上述 ， 是一个合法的结果的情形。 时，落点有以下两种分布：

每两个落点间的连线所在的直线将平面划分为两个区域，我们发现：将其中一个区域中所有落点所对应的半径取逆以后得到的结果依旧是合法的。如 分布中 连线的一侧中落且仅落有 与 ，则 是一个合法的结果。类似的，观察 连线，则 与 也都是合法的结果。

应用以上两个规律，我们进行以下的例举操作。为便于说明，依旧沿用 ， 是一个合法的结果，并研究上文中的 分布为例：

首先对 的每一条连线， ，应用规律2，列出所得的全部的结果：

现在应用规律1，依次遍历每一个结果，如果它的逆不在所列的结果中，则将它的逆添加进结果列表里，并为了方便，我们将结果与自身的逆“放到一起”，整理得到：

这就是我们例举所得到的全部结果。数其个数得到这一共是14个。

以上是我进行例举的方法。这样例举得到的结果应当是没有缺漏的，但我不知道怎么说明。将 分布与 分布均例举一遍以后我发现分布对于结果的个数没有影响（同样并不知道怎么说明），于是 与 便只考虑了一种分布进行了列举，最后得到的概率的结果是：

。

由于二维（圆内取点）的情形的结果是 ，分子最高次项的次数为1，我猜测三维情形的结果分子最高次项的次数应为2，于是从例举结果中选取了三项，解得 ，而验证又知道这与 时的所有例举结果完全符合。