如何证明若行列式 D 中有两行元素分别对应成比例，则 D=0？ 第1页

谢邀。

这个性质是行列式基本性质的推论，从定义论证才不致循环证明。

定义的回忆

从行列式的定义出发：

其中

置换σ是k个对换的乘积，而ε(σ)被称为置换σ的符号。ε(σ)为+1时，称置换σ为偶置换，反之，则称之为奇置换；

定义和式中的每一项，来自于矩阵A不同行不同列元素的乘积。

（也有的课本用逆序数定义，其本质上是一样的。）

证明

我们将上图中的和式分成俩俩一组，每一组可以正负抵消。

具体做法如下：

已知有两行对应成比例：

如上图示意，当选取不同行不同列的元素组成α项：

α = … a … b’ …

对称地，也会有β项：

β = … a’ … b …

α, β两项在“…”处的元素完全一样。又因为两行对应成比例，不妨设：

k •( …, a, …, a’ , … ) = ( …, b, …, b’, … )

于是

α = … a … b’ … = … a … ka’ …

β = … a’ … b … = … a’ … ka …

于是

α = β

最后我们考虑α与β要佩带的符号ε：由上式可知α、β两者列标的排列，只差一个对换（或者逆序差1），于是ε(α)、ε(β)的符号相反，代入行列式中，像α、β这样的项最终两两抵消，故行列式为0

Q.E.D

另外，从几何直观性而言，行列式是在n维空间中，由n个共起点的行向量，所围成单纯形的有向体积（可能为负）。例，n=2时，是平形四边形面积；n=3时，是平行六面体体积。那么当行列式有两行对应成比例，即两行向量共线，此势必造成一个面退化为了一条线（降维），于是体积为0（最简单的情形，就好比在二维情况下，平行四边形的邻边共线，那么面积就为0了）。