狄拉克符号有什么优越性？体现在哪里？ 第1页

谢不知道多久以前的邀，这是一个很系统也很有用的问题，需要理解几个相关的核心概念，下面我们一一为大家浅析一下。在此感谢 @Barry Allen 对本回答给予的友情支援。

1.从几何学中的坐标和坐标变换类比理解量子力学中的表象和表象变换

理解狄拉克符号，关键在于理解表象。这在我之前一个回答中提到过，这里做了一点点小补充。

表象即微观粒子体系的量子态和力学量的具体表示形式，任意力学量在不同表象中有不同的形式，我们可以给定一个表象来对一个力学量进行具体的描述，例如教材里常见的坐标表象和动量表象。但在量子力学的描述中，我们除了像这样给定一个具体表象外，也可以不指定具体的表象来对力学量进行描述。

下面我们举个不完全恰当的例子来帮助大家理解。假定我们有一个矢量 ，我们在直角坐标系下可以将它描述为

我们说，我们将矢量 按照基矢 和 展开，其展开系数为 。

当然，我们也可以不在直角坐标系下来描述这个矢量 ，比如我们可以用另一个非直角坐标系 和 来描述它，可以用极坐标系来描述它，我甚至还可以不指定坐标系，就将它描述为 。细心的读者已经发现： 矢量自身的性质，和我们选取哪个坐标系来描述它无关。

现在让我们回到量子力学。在量子力学里，一个物理系统可以用一个（复）希尔伯特空间来表示，描述系统可能状态的波函数就可以用希尔伯特空间的（列）向量来表示。

“形象”来说，表象就有点“坐标系”的味道，在不同的“坐标系”下，我们有不同的描述形式，而这个不指定具体“坐标系”来描述矢量 ，也就是在量子力学中通过一种抽象的、不涉及具体表象的形式，来讨论微观粒子的状态和运动规律的描述方法，就是狄拉克符号想做的事情。

总结一下，我们可以这样说：量子力学可以不涉及具体表象来讨论微观粒子的状态和运动规律，这样一种抽象的描述方法所使用的符号，我们称之为狄拉克符号。

2.狄拉克符号的使用方法

狄拉克符号做的第一件事，是将希尔伯特空间一分为二，称之为右矢空间和左矢空间，其对应的矢量为右矢（ket） 和左矢（bra） ，这个名称来自于对bracket（括号）这个单词的拆分。

狄拉克符号的使用，其实有两条原则，很多教材里讲得可能不是那么容易注意到，所以让初学者很容易犯迷糊。

首先，如果我们只描述一个抽象的特殊的态，而不涉及具体的表象，可直接在右矢内标记即可。这也是题主在题干里说的一个优越性“可以毋需采用具体表象”。

例如： 表示波函数 描述的状态， 表示 坐标本征值为 的本征态， 是能量为 的能量本征态……这类表示方法，均不涉及具体表象，通常用于直接描述本征态。

另一类常用的描述，就是在某一具体表象中使用狄拉克符号，这个讲起来要复杂一点。以下内容涉及一些量子力学概念，可以在我的这个回答中查到：

我们先约定内积的狄拉克符号是：

，且有

若相互正交，则 ；若 已经归一化，则

在F表象下，若有一力学量完全集 ，我们可以把任一态矢量 按基矢 展开，记为：

由于基矢是正交完备的，也就是我们在上式两边都乘以一个左矢 ，只有当左右矢取值相同时，由归一化条件才能取1，其余不相等的情况都取0，于是有：

我们把它称为态 在基矢 上的投影，如果 全都确定下来，态 也就确定下来了。因此我们说，这样一组数{ }就是态 在F表象下的表示。

我们还发现，根据上文的情况，我们可以这样写：

对比头和尾，则

这是一个非常重要的公式，请记住它。我们把它记为【*】式。

有了这些基础，我们就可以用狄拉克符号来完成：

算符的表示：

本征方程的表示：

薛定谔方程的表示：

力学量平均值：

这就是题主在题干里说的第二个优越性“运算简捷”

既然题干提到了“尤其是对于表象变换”，那我们可以来看看狄拉克符号对于表象变换是怎么个优越法。

我们约定，F表象的基矢记为 ，L表象的基矢记为 ，对于一个量子态 ，在两个表象下分别可表示为：

即

根据【*式】，从F表象到L表象的变换可记为：

即

这样我们就可以比较容易地得到两个表象之间的变换。

除此之外，狄拉克符号在解一维谐振子里也帅得一啤，这里先不赘述了嘻嘻嘻。

I hope it's useful for you guys.

耀坤。