1+0.1+0.01+0.001+0.0001... 一直下去会在实际中到达 2 吗？ 第1页

嗯，这种问题能成热搜，自证985/211不是平均水平，平均水平显然处于买菜阶段。

小学生解法：把求和结果写成1.111111…，连1.2都不到，再聪明点可以知道1.111111…=10/9

中学生解法：把求和式子看做无穷递缩等比数列求和，套公式，和为1/(1-0.1)=10/9

大学生解法：数列 {1 , 1.1 , 1.11 , 1.111 ...} 显然收敛于10/9

脑经急转弯解法：在二进制，1.111111…=10，相当于十进制的2（进制杂糅）

所以原则上来讲，但凡上过学的稍微动动脑筋都可以知道答案。

九年义务强制教育，我想各位小学肯定上过，但有的人就是不肯动脑筋。

毕竟高考完之后，太多人都累了，智力反弹到幼儿园水平。

这样简单的问题能上热搜，就是信息时代的悲哀，因为信息时代大家脑子被不停刷新的信息塞满，没时间动脑筋。

越反智的话题越有受众，越反智的话题越上热搜。

拼嘻嘻骗的也就这类人（拼嘻嘻砍一刀，越砍数字越小，你砍到地老天荒也就那样）

现在你还敢说学数学只能买菜了吗？

请您欣赏：

更新：

看到评论区有人提出语文解法：庄子好基友惠子的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。

首先我肯定这种具象思维。

但是，具象思维不一定正确。

尤其是在物理世界，宏观层面的具象思维，不能推广到微观层面。

宏观上我们觉得一尺之捶可以无限分下去，微观上却只能分到夸克（目前）。

所以建议大家，数学问题就用数学逻辑思考，避免形象思维的臆测。

惊呆了，这不是一道小学数学的题目吗？题目如果是 1+0.9+0.09+0.009+0.0009... 和 2 比较那还差不多，而竟然是 1+0.1+0.01+0.001+0.0001...，就是 1.1111111111... 啊，也太夸张了吧，1.2、1.1111111112、1.3、1.4、1.5 都没到，怎么可能到达 2。看来得给题主补补小学数学了。请翻开人教版数学四年级下册课本 35 页和 41 页，好好复习复习。

① 小数的表示

打开 35 页（见图1)，“做一做”中习题看到没，这就是小数各数位组成的概念，对于题目的：

就是1个一，1个十分之一，1个百分之一，1个千分之一，1个万分之一...的和，这正是无限小数各数位的组成，即：

显然，这是一个循环小数。 和 谁更大呢，也就是 1.1111111111... 和 2 比较谁大谁小，你会判断了吗？

② 小数的大小比较

方法一（直接比较）：

翻到 41 页（见图2），复习怎么比较小数大小，先比较整数部分，整数部分相同就比较十分位，十分位相同就比较百分位，依此类推。

题目要比较 和 的大小关系，显然整数部分 1 比 2 要小，而且十分位的数字 1 比 9 小[注：因为1.111...为循环小数，我们要再判断此小数下一位是不是数字9]，故

我们还可以使用小数性质和数字大小关系来更严格地证明以上大小关系：

由 得

练习题：我们已知圆周率的具体数值为，那么和比较的形式一样吗？你能说出和之间的一个数字吗？如何用上面的证明方法证明（大家动手试一试）？

方法二（化成分数比较）：

那万一碰到类似 和 比较的情况呢？

别急，请打开人教版五年级下册课本第 77 页（见图3），复习怎么将小数转为分数，然后再比较大小。

我们继续拿 和 比较作例子说明：

由 ，得

即

练习题： 如何转化为分数和 比较呢？

③ 拓展内容（小学超纲知识，可跳过，若感兴趣可进一步钻研）

（1）如何严谨证明 和 相等

上面提到的用分数论证 和 相等的证明方法是对的吗？有没有更严谨的证明方法呢？请参见知乎上已有的详细解答：为什么 0.9 的循环等于 1？，如何严谨地证明 0.9999…=1？。这里不再赘述。

注：数学证明各有不同的严谨性、背景假设和目标受众。对于非数学研究人员来说，将 转化为分数相乘等于1的形式，或将整体看作一个未知变量乘10之后求差得到未知变量为1的证明形式，均是正确的证明方法；而对于基础数学研究来说，对 = 最严谨的论证则需要用到实数理论。

这些论证形式在奥数教材或数学期刊中都有给出过，维基词条上更是有词条 「0.999...」（ https://en.wikipedia.org/wiki/0.999... ），从最简单到最复杂的近十种证明，都全部列出来，本词条上也强调这些证明都是正确的，只是严谨性和受众目标各不同而已。法国数学家 Jean-Paul Delahaye 也发表过文章《0.999...=1?》（0.999...= 1？），系统性地介绍了从初等数学到高等数学的各种论证形式。

（2）用图形直观表示

如图4所示，最大的正方形面积为单位1，小一点是0.1（边长等于单位1对应正方形边长的 ），再小一点的是0.01（边长等于0.1对应正方形边长的 ），依次画下去，全部粉红色部分就代表小数的大小。

白色部分则是第二个单位1的正方形剩下的空间，从直观上看 比 小得多，而且越到后面的正方形越挤到下面箭头位置的角落中，也无法收敛于 ，毕竟中间还有 等等数字。

我们来算一下这个数列求和的精确解.

咦, 这个数列好像是我们高中学过的等比数列呀.

那我们用一下等比数列求和公式?

所以

所以啦, 用高中的知识(和一点点极限的知识), 我们就能证明这个数列的极限是 .

是肯定达不到 的啦.

另外注意哦, 并不是一直加一个大于零的数就一定会达到某个值.

就比如说这个数列, 就达不到

也不是后一项比前一项小就一定会趋于某个值.

比如说

就会加到正无穷去, 虽然后一项永远比前一项小.

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这不就是一又九分之一吗……

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  anzhongguancha-59 网友的相关建议: 
      

这种简单的数学问题，之所以会在一些人的头脑中变成一种“悖论”，就是因为混淆了数学问题和现实世界中的物理问题。

类似的有龟兔赛跑问题，用一种无限切分时间的方式来证明兔子永远都无法追上乌龟。

还有把苹果无线切，这种问题。

只要涉及到类似思路的问题，联系到现实世界中的一个例子，都能推向最终乍一看好像还有点对的悖论。

之所以会犯这些问题的本质都是因为，人们觉得，把无数个很小的东西加在一起，总能像聚沙成塔一样变得很大，最终超越某个指标。

而现实中早就证明过了，无论是时间，还是物质，都是无法被无限切分的。

数学是绝对的理想世界里的逻辑推理，而物理等学科则是在研究现实的世界，这两者存在一定程度的交叉，却不能绝对等同。

类似犯错的，还有试图完全用数学公式来描述现实世界的经济金融等学科中的数学邪教派。

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