如果把行列式定义中的(-1)^(逆序数)去掉，这种新的运算能用在哪里呢？ 第1页

这个数字通常叫做矩阵的积和式或者永久式，英文是permanent.

首先我们列一个比较重要的应用：完美二分图匹配。

图的概念就不多介绍了，就是顶点和边。所谓的二分图，就是图的顶点可以分成两个集合X和Y，每个集合内部没有任何边相连，所有的边全都连接了X的点与Y的点。我们假设X与Y的点的数目相等，并且规定好一个标号：X={x1,x2,...,xn}, Y={y1,y2,...,yn}. 现在我们考虑一个n乘n方阵A，称为邻接矩阵：如果xi与yj连了边，那么就把A的i行j列元素设为1，否则就设为0。

继续假设X和Y的数目相等。因为相等，所以可以把X与Y中的点做个配对。特别地，如果每一对配对中的点都被连过边，那么称为完美匹配。容易证明，A的永久式就是所有完美匹配的个数。

比如题主举的例子，五个人就是X，五个位子就是Y，配对就是每个人找个位子。由于给出的甲乙丙的限制，所以邻接矩阵A就是题主给的样子，答案自然就是其永久式了。

另外举一个例子，如果若干个信封随机装若干信件，每封信全都装错有多少种可能？这也可以用永久式来给出答案，此时邻接矩阵就是对角线全是0，其他位置都是1。这通常被称为错排问题（Derangement problem），事实上可以用容斥原理给出结果的表达式 .

永久式与行列式有相似之处，比如关于某一行/列的线性性等等，但是区别也非常大。这里列两个比较要紧的：

1. 两个矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积，但是永久式不对。
2. 对n阶矩阵的行列式，可以找到关于n的多项式时间的算法，但是永久式做不到。换而言之，永久式的计算远比行列式复杂。

最后，给一个稍微看起来更加实际一点的例子：平面型单双建交替的碳氢化合物中双键的分布问题。

我们考虑一个平面型碳氢化合物中碳原子的结构。假设我们已经知道碳原子的连接方式，并且假设我们已知碳碳键是单双交替分布的（或者作为问题的假设，我们可以考虑更强一点的条件：所有的碳碳键键角都是120度），比如类似苯环的凯库勒式。我们想知道有多少种可能的双键位置的排布。（当然了，这种大pi键理论上是没有单双区别的，但是据说不同的单双交替结构数目也会影响化学性质，可能叫共振结构？这点我不是专家，希望学化学的同志补充，小生先谢过了。）

举个例子，萘的单双交替结构就有三种：

由于已知单双交替，碳原子形成的环路一定是偶数长度的。因此，根据图论中的定理，这个图是二分图。具体来说，选定一个基点，然后从基点向外走，距离基点长度是奇数的称为奇顶点，距离基点长度是偶数的称为偶顶点。如果我们考虑的是实际的化合物，那么奇顶点和偶顶点的数目一定相等，因为单双交替，否则就是自由基了。根据我们已知的碳原子的连接方式，就可以写出邻接矩阵，此时其永久式就是所有可能的单双交替排布的种类数。例如，对于上面的萘，我们把顶点编个号，红蓝分别对应两组：

可以写出这个5乘5矩阵 ，永久式就是3。

关于永久式有不少现成的计算结果与不等式估计。我们不加证明地给一个结果：

设方阵A是如前所述的某个二分图的邻接矩阵。如果这个二分图中所有的简单圈（除了起点终点外没有别的重复的点）的长度都不是4的倍数，那么A的永久式等于其行列式的绝对值。

积和式/永久式不算个特别冷僻的概念，有了关键词就能找到不少相关文献。这里我主要参考英文wiki，最后碳氢化合物的例子来自《数学模型》谭永基。