效用函数的高阶导数有何经济学含义？如何推导？ 第1页

这个问题太有意思了，让我们一起在经济学中学习人类的各种美德/恶行，修炼成为圣骑士吧！

作为修炼者，要首先有一个效用函数 ，x可以是任何东西，只要能给你带来或正或负的效用就行。

如果一阶导小于零 ，边际效用小于0，那么我们称之为「餍足」，就像吃东西一样，开始吃的时候可能越吃越开心，后来撑了之后就越吃效用越低了。所以我们要尽量做到 ，也就是「不餍足」。

如果二阶导小于零 ，那么我们称之为「风险厌恶」^[1]，因为边际效用递减，所以如果在彩票和确定性的x之间选择，确定性会带来更高的效用。但是我们是要做圣骑士的，所以我们要勇于冒险，需要 .

如果三阶导大于零， ，我们称之为「谨慎」^[2]。也就是边际效用本身是凸的。体现在个体优化上，个体会尽量避免大起大落，而倾向于平滑的收入。在投资策略的选择上，当均值和方差都一样的情况下，谨慎的个体会倾向于斜度更大的投资策略。圣骑士当然是谨慎的。

如果四阶导小于零， ，我们称之为「节制」^[3]。节制是圣骑士的非常重要的美德。当个体面临不可避免的背景风险的时候——比如宏观大形势，央行利率调节等等时，个体会降低其他独立风险领域的投资最优值——有节制的个体会倾向于峰度小的投资策略，按照大魔导师Gollier的说法，就是有节制的人会「分散坏情况出现的可能性」。

如果五阶导大于零， ，我们称之为「急躁」^[4]。当存在背景噪声的时候，是不是谨慎还能够被保持？如果不会被保持，那就是说明个体是「急躁」的^[5]。圣骑士当然不急躁，所以我们要追求 。

日常的这些效用函数，几乎没有一个能满足这些苛刻的要求。比如说：

这个函数的一阶导大于0，二阶导小于0，三阶导大于0，四阶导小于0，五阶导大于0，所以是不餍足、风险规避，谨慎、节制、而急躁的。

这个函数一阶导大于0，之后所有的导数等于0。除了不餍足之外，不体现任何美德或者恶行。

是1-3阶大于0，4阶小于0，然而5️阶又大于0了，终究是犯了「急躁」的毛病啊，通往圣骑士的道路充满崎岖，果然是修炼不易啊！

一个完美的圣骑士，应该是「不餍足」、「风险热爱」、「谨慎」、「节制」但是不「急躁」的。一阶导到三阶导都大于0，四阶五阶小于0，这样的连续函数挺难找， 我们可以假设一个多项式：

我们需要

在X是[0,1]的区间上， 就完美的满足圣骑士的一切特点:

对于对自己要求特别高，希望继续修炼其他美德的同学，请耐心等待，估计再过几年，其他的什么勤勉、宽容都会被经济学家开发并用效用函数表示出来^_^

最后和题主悄悄说一下，读读参考文献的第四篇，基本上从1阶到n阶都可以理解了。

参考

1. ^ Rothschild, M. and J. Stiglitz,“Increasing risk: I. A definition,” Journal of Economic Theory, vol. 2, no. 3, 1970, pp. 225—243.
2. ^ Kimball, M.,“Precautionary savings in the small and in the large,” Econometrica, vol. 58, no. 1, 1990, pp. 53—73.
3. ^ Gollier, Christian, and John W. Pratt. "Risk vulnerability and the tempering effect of background risk." Econometrica: Journal of the Econometric Society (1996): 1109-1123.
4. ^ Deck, Cary, and Harris Schlesinger. "Consistency of higher order risk preferences." Econometrica 82, no. 5 (2014): 1913-1943.
5. ^ Lajeri-Chaherli, F., “Proper prudence, standard prudence and precautionary vulnerability,” Economics Letters, vol. 82, no. 1, 2004, pp. 29—34.