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什么是「奥利给」不等式? 第1页

  

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奥利给不等式就是:


哈哈哈哈,开个玩笑~

其实,这是个谐音,“奥利给不等式”指的是“ALG不等式”(Arithmetic-Logarithmic-Geometric mean inequalities),中文又称“对数均值不等式”[1]

定义是:

即对于任意两个非负且互不相等的数 和 ,两者的算术平均数(Arithmetic mean)大于对数平均数(Logarithmic mean) 大于几何平均数(Geometric mean)


对应的证明方法有很多,我找到了一个由 Roger B. Nelsen 教授给出的图解证明法[2],这也是我所见过的最为直观简洁的奥利给不等式证明方法,但是由于其原文中的公式有些错误,所以这里重新写一遍。

思路其实就是对比函数 在区间 所围的面积与一个通过“内切”(左边图)形成的梯形面积与两个通过“外接”(右边图)形成的梯形面积,进而得到不等式关系。

很显然,两种情况下,函数 在区间 所围的面积都为:

对于左边的图,根据积分所得面积与梯形面积的关系有:

(注意这里的梯形可以看做是长为 ,高为 的矩形)

对于右边的图,根据积分所得面积与两个梯形面积和的关系有:

(开始吟唱:梯形的面积是上底加下底的和乘高除二!)

综上有:


而对于题主的问题,关于 与 的关系就很好比较了。

由奥利给不等式有:

现在只需要令 则有:

所以当 时,有:

当 时,有:

当 时,有:


参考

  1. ^Logarithmic mean https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_mean
  2. ^ Nelsen, Roger B. "Proof without Words: The Arithmetic-Logarithmic-Geometric Mean Inequality." Mathematics Magazine 68, no. 4 (1995): 305. doi:10.2307/2690586.



  

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