数学中，有哪些方程和思想让你体会到了美感？ 第1页

考虑一个流形上的动力系统，比如球面上的向量场：

我们想问：空间（流形）本身的结构，到底在多大程度上限制了动力系统的行为？或者说，我们要回答，是不是：一个空间上，动力系统的行为是可以被人们随意设定、不受空间本身约束的？

答案是：否。

庞加莱-霍普夫（Poincare-Hopf）定理指出：空间本身的拓扑结构，就已经对定义在其上的动力系统可能的运动轨线作出了限制。在我的知识范围内，我始终认为这是我见过的最美妙的定理。

虽然，我平时根本用不到它，我跟它的关系远远不及随机数学、最优化理论那样亲密，但它带给我很大、非常大的美学享受，胜于其它任何一个数学定理。

比如空间的欧拉示性数是 ，空间中流淌着一个长这个样子的动力系统：

所有在 上的箭头指向 内，系统中间有一个源，我现在想把这个源去掉，可以吗？

这时候，Poincare-Hopf 定理就会在你耳边回响、低语：“可以啊，凡人，但你需要保证指数和依然为 。现在空间中只有一个源，满足我的条件，但你不论怎么调整，都必须始终服从我的意志。”

我：“神啊，能再给我些启示吗？”

神回答道：“看吧：”

我：“哦，神啊，我懂了，系统的运动轨迹必须满足您的要求，只要按照上图给予的启示，我就可以从心所欲不逾矩了，比如改成这样就可以，是吧？”

您看，这样的指数和还是为 （两个指数 ，一个指数 ），这样就是可以的，对吗？

神：“孺子可教也啊，哈哈哈哈哈嗝”。

References（启示录）：

【1】Andreu Mas-Colell，The Theory of General Economic Equilibrium: A Differentiable Approach

【2】J.W.Milnor，Topology from the Differentiable Viewpoint

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神侍者：“我们的面具也要满足神的意志”