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x=a,a为常数,这个图像是连续的吗? 第1页

  

user avatar   dhchen 网友的相关建议: 
      

谢邀,这个问题其实不蠢,而且我觉得大部分数学本科生大概也不知道这个东西。研究这种一对多的分析学叫“多值分析”,在这个门类定义下这个“函数“是上半连续的 而且这类是最典型的上半连续。请和一般意义上的单值泛函的上(下)半连续区别开,这两者名字一样,但是不是一回事。上半连续多值映射是非常重要的一类映射,K. Deimling的教材管它叫multi而不是mapping,我这里偷懒一下,就叫映射了。( @Richard Xu 提醒到搞经济学的管这个叫correspondence)

这种映射在博弈论中具有非常基础的的作用,因为一个鞍点问题可以转化为一个多值映射的不动点问题。 上半连续性可以保证一类不动点成立。比如,下面的Brouwer不动点定理的多值推广(Kakutani fixed-point theorem):

设 是 中的有界凸闭集,而映射 是一个上半连续,而且对于任意 , 是非空凸闭集,那么它有一个不动点 。

对于一个多值映射 , 对于此类多值映射,我们首先定义如下的原像:

然后我们可以如下定义上(下)半连续性

有些教材用hemicontinuous而不是用semicontinuous 来表示多值映射的“半连续“。


再重复一次,上半连续(u.s.c.) 是这样定义的, 对于任意闭集 , 是一个闭集。 如果这个映射是但值的,那么我们可以发现上(下)半连续就是连续。 对于上半连续,我们有下面的等价刻画:

你给的例子,是上半连续而不是下半连续的,也有下半连续,但是非上半连续的例子。比如


上半连续还可以通过 语言刻画,如果 是紧的,那么它等价于下面的刻画:设 , 对于任意 , 存在 使得

成立。

另一个等价刻画是这样的


事实上,类似于 的多值映射是典型的上半连续函数,这这个例子中你可以认为 , .

PS: 题主说自己的教授是做博弈的,那么他知道这种连续性是不奇怪的,这是他吃饭的家伙当然了,大部分学过非线性泛函分析的人都应该知道这种映射。




  

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