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A是不可列集合,B是将A分割成两个不可列集合的实数的集合,证明B非空且为开集? 第1页

  

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谢队长邀。手机码字,就给一点思路吧。

我们把所有让A的左段,可列或有限的集合叫做A1。让A的右段可列或有限的集合叫做A2。

很自然的可以证明A1,B,A2是R上的从左到右三个区间,并且恰好分割R。(可能有空区间)

为证明B是非空开集,只需要证明A1,A2都是闭集。

这是因为A1,A2都是闭集时,B自动开,此时如果B空,R就被两个闭区间分割,那么只能是一个空集和一个R,利用可列个可列还是可列可知这与A不可列矛盾。

为证A1,A2是闭集,只需要再次使用可列个可列还是可列即可。




  

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