如何理解区间 [0, 1] 内有理数集合的长度为 0？ 第1页

为了便于大家理解，本文就打几个简单至极的比方吧。

准确地说，如果“长度”指的是一维空间里的勒贝格测度的话，那么可数点集的勒贝格测度为零。

要说明勒贝格测度是什么，就要先说明什么是勒贝格外测度，一维空间中。一个集合，如果它是开区间的话，那么这个开区间两个端点的差就是它的勒贝格外测度，这里就简称长度。如果一个集合不是开区间的话，那么就用一些开区间来盖住它（就是说让这个集合的每个点都至少属于这些开区间中的某一个）。然后算出这些开区间的长度，把这些开区间的长度都加起来，就能得到一个和u，随着你盖法的不同，这个和u也在变化，在全部的可能的u中，有一个下确界（也就是说如果有最小的话就是最小的那一个，没有最小的话只要下方有界也取得到下确界，你可以进行百度下确界是什么，很简单），这样这个下确界就是这个集合的“外测度”，写作m*。

勒贝格外测度当然也不止对一维空间有用，拿二维空间形象地说比较便于理解，就是一群人讨论什么是一块布的面积？讨论的结果就是如果这块布是长方形的话，那么面积就是长乘以宽，那如果这块布不是长方形是个不规则图形呢？那就找人拿一系列长方形的布来盖住它，谁用的布料少（这些长方形的面积的和最小）谁就牛逼，当用的布料少得不能再少的时候，这些长方形布料的面积和就是这个不规则布的面积。

有了这个知识，我们就可以来看有理数集合究竟有多“长”。

有理数是可数集，可数无限的点集一定可以和自然数一一对应，也就是说可以按顺序排成一列，因此全部的有理数可以按照顺序排成长度为无限的一列，x1，x2，x3，x4····。

对于任何一个正实数e和自然数n来说，你显然都可以找到一个正实数e/2^n。让一个开区间（也就是一块布）长度等于e/2^n，这个区间显然有正的长度，而点是没有长度的，所以这个开区间它必然可以覆盖一个点。

让第一个区间的长度等于e/2并覆盖第一个有理数，让第二个区间的长度等于e/4并覆盖第二个有理数，让第n个区间的长度等于e/2^n并覆盖第n个有理数，以此类推，这样，你可以覆盖全部的有理数。

按照勒贝格外测度的定义，是指用布料盖住有理数集的布料盖法的面积和得下确界，我现在如果找到了一种盖法，那么，就说明我用这么多布料就能盖住，真正的最少布料的盖法只可能比这个用的布料少不可能比这个更多，所以有理数集的真正的勒贝格外测度必然小于等于我这种盖法下这些区间长度的总和，这些区间共有可数个，长度依次为e/2，e/4，e/8+···e/2^n+···，把他们加起来，按照等比数列的求和公式，当n趋于无穷时，它们的和显然等于e。

因此，有理数集的勒贝格外测度小于等于e，这个e是我随便取的，所以有理数集的勒贝格外测度小于等于任何正实数，所以它的勒贝格外测度只能是零。

翻译成大白话就是说，你有一个朋友庄子，庄子曰：有一块布，日取其半，万世不竭。现在你让庄子打工，给庄子一块布，让他每天都割掉他手中剩下的布的一半交给你，不管这块布最初的时候有多短，按庄子的割法，他永远都无法割完。然后你每天拿着庄子割掉的部分去盖住实数轴上一个有理数，因为一个有理数只是一个没有长度的点，所以你的这块割掉的布料就是再怎么短也是有长度的，也盖得住它。有理数集是无限的，但是却是可列的，也就是说可以找到一种决定先盖哪个数后盖哪个数第n天盖哪个数的顺序，只要你按照这个顺序不停地盖，直至永恒，那么对于任何一个有理数来讲，你总有一天都会把它给盖了，于是你得出结论，我随便找一块布交给庄子割给我，都能盖住所有有理数，随便找的这块布最开始可以是任意短无限短，所以任意短的布都能盖住全部有理数，所有有理数的长度只能是零。

但是这种方法不能证明不可数集外测度为零，因为不可数集不能写成这种无限个依次相加的数列，换句话说，如果你每天拿着庄子割给你的布料去盖一个无理数，不管你用什么方法决定盖无理数的顺序来盖至永恒，都无法保证任何一个无理数总有一天会被你给盖了。

我们说一个集合有外测度，但是有外测度还不能保证可测，它还必须满足一个caratheodory条件，我们才说这个集合是可测的。

caratheodory条件，就是说，对于一个集合E来说，用E来把实数集的另一个任意的子集A划成两部分——既属于A又属于E的部分（A交E）和只属于A不属于E的部分（A-E）。

这两个部分的勒贝格外测度的和如果等于A的勒贝格外测度，那么我们就说E是可测的。

这翻译成白话，就是你拿着一块布E去盖另一块布A，完全盖得住也行盖不住也行，你照着布E的轮廓把A剪成两部分，如果这两部分的勒贝格外测度之和等于原来的A的勒贝格外测度，那么就说这个布E是勒贝格可测的。

你可能无法直观想象把一块剪成两部分，两部分的面积之和还不等于原来的布的面积，但事实上实数集中这样的情况是存在的，面对E这块布的神奇轮廓，你只能喊出“深不可测”，这就是“不可测集”的由来。

此外，勒贝格外测度作为一个外测度，它必须大于等于零，而且是满足次可加性的性质的。也就是说，可数个集合的并集的外测度一定不大于这些集合分别的外测度之和。

因此，R中凡是勒贝格外测度为零的集合，其一定是可测的，因为对于R中的任意子集A和一勒贝格外测度为零的集合E来说，A和E的交是E的子集合，而勒贝格外测度是最小覆盖的开区间和的定义，所以子集合的外测度一定小于等于原集的外测度，所以A和E的交的外测度必然小于E的外测度，因此只能是0，而A-E，即只属于A不属于E的集合显然是A的子集，所以m*（A-E）也必然小于等于m*（A），而由于外测度的次可加性可知m*（A-E）+m*（A交E）

>=m*（A），所以m*（A-E）就只能等于m*（A）。

所以零外测度集必然满足caratheodory条件，也就是说有理数集可测且外测度为零，也就是所谓有理数集长度为零了。