这类题目怎么做呢？ 第1页
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王永喜老师以前出过这道题作为竞赛预测题，以前逛MSE论坛的时候也收集过这道题，证明会涉及希尔伯特矩阵和勒让德多项式
习题
设 是正整数, 且 的连续函数, 且满足
证明:
证明
令 是一个Legendre多项式，即
对于序列在上的规范正交基，则存在
对于每个，是一个次多项式，并且。同时对于：
于是可以表示为
我们有，并且对于存在
参阅：
tai-le-mao-99 网友的相关建议:
构造泛函
其中 为拉格朗日乘子。变分求极小：
即有
所以， 取极值时 为 次多项式，系数由条件 确定。也即如下方程组
前面是一个柯西矩阵。这时要求的积分为
最后一个求和很好求，就是柯西矩阵对角项的分母和，为
参考
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