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这类题目怎么做呢? 第1页

  

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王永喜老师以前出过这道题作为竞赛预测题,以前逛MSE论坛的时候也收集过这道题,证明会涉及希尔伯特矩阵和勒让德多项式

习题

设 是正整数, 且 的连续函数, 且满足

证明:

证明

令 是一个Legendre多项式,即

对于序列在上的规范正交基,则存在

对于每个,是一个次多项式,并且。同时对于:

于是可以表示为

我们有,并且对于存在

参阅:


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构造泛函

其中 为拉格朗日乘子。变分求极小:

即有

所以, 取极值时 为 次多项式,系数由条件 确定。也即如下方程组

前面是一个柯西矩阵。这时要求的积分为


最后一个求和很好求,就是柯西矩阵对角项的分母和,为

参考




  

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