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用微积分怎么证明勾股定理? 第1页

  

user avatar   yiguo-yang 网友的相关建议: 
      

记得一个用微分方程的方法,当时看到都惊了

评论中 @寨森Lambda-CDM 补充

这需要交代一个事实:当图中的dx与dy趋于0时,那个角趋近于直角,所以才会相似,即dy/dx=x/y


user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

谢邀。

微积分中的确有求任意曲线长度公式(前提是这个曲线可求长):

这公式看着眼熟吗?中间的被积函数不就是

勾股定理的形式吗?!

没错,它是勾股定理的微分版本,此公式本身就是勾股定理的推论


循环论证,这样不好。


勾股定理,是一个很基础但又很深刻的定理,它描述的是“欧氏空间”里的一个性质,这货如果搁别的空间里,估计只能喝西北风了。所以要想理解它,必须从空间入手;只有明确在怎样的环境中,谈论勾股定理才有意义。


在现代数学中,我们要首先要引入欧氏空间的概念。


欧氏空间

欧氏空间就是在向量空间中定义了内积它是从向量空间到实数域上的二元函数,满足以下条件:

对称性

•(线性

正定性

, 等号成立当且仅当 为零向量

以上系数皆属实数域。


顺便我们将的向量 的模长 定义为:


正交

有了内积的定义,我们就可以定义何为两个向量的夹角、正交的概念。

两向量夹角余弦:

特别的,当两向量正交(垂直)时,有

此两者互为充要条件。


注意,此处的余弦不再是我们熟知的余弦,而是在内积定义下对余弦的一个推广。如果定义 , 为转置运算,即 与 对应元素的乘积再求和,于是就退化为我们所熟知的内积。


勾股定理的证明

命题(勾股定理)

已知:欧氏空间中两向量 正交,命

求证:

证明:由模长定义、以及双线性,

因为 正交,即 ,


在无穷维空间——希尔伯特空间中的讨论与此相仿,就不再赘述。

各位童鞋,我讲的通俗易懂吗?




  

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