小平邦彦《微积分解析入门》第五页怎么等于1? 第1页
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我们来搞一堆定义。
首先，一个有理数Cauchy列 是指一列有理数，使得对任意 存在 使得 。两个有理数Cauchy列 等价是指对任意 存在 使得 。
容易证明有理数Cauchy列的等价关系满足反身性，对称性，传递性。这样可以把所有的有理数Cauchy列中互相等价的数列归为一类。这些“类”的集合 称为实数集合，每一个类都叫做实数。类(实数)中的任意一个数列称为这个实数的代表元。这就是实数的定义。
下面我们来看看原来的问题。
按照惯例，应该定义为一个实数，它的一个代表元是 。而实数 的代表元是 。所以要证明 只需要证明 等价。
我们发现 。所以对任意 ，取使得 的最小正整数 ，则 时 。所以这两个数列等价，证毕。
貌似没有比这更严谨的证明了（
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