下列数字方块移动得到一定排列顺序的问题有解吗？ 第1页

谢邀。不能。

证明一系列的操作不能达到某个结果，一般的思路是这样（当然不排除别的思路，具体问题具体分析）：

1、确定操作具体是什么。

2、寻找某个（些）量，这个量在操作前后是不变的，这个量又被称为不变量。

3、如果两个状态的不变量是不同的，那么肯定不能通过该操作来互换这两个状态。

当然，难就难在寻找不变量。

可以把黑框记为 ，从左到右，从上到下这样排列起来，本题就是 和 这两个状态的互换。

对于这类问题的不变量，学界早已研究清楚——不变量是逆序数的奇偶。

在 的一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

例如： ，逆序的数对有： ， ， ， ， ，所以逆序数是 ，逆序数是奇的。可以证明，在 的一个排列上，交换任意一对数对，逆序数奇偶性改变。具体证明过程可参阅有讲到逆序的线性代数书籍、抽象代数书籍。或者，自己动手证明一下也不是什么难事。

本题具体的操作是什么呢？注意在这里，并不能任意数对互换，只有 才代表黑框，每一次移动本质上都是 在移动。而且，移动到最后， 必须回到原来的位置。设移动的次数为 。再设 经过上、下、左、右四个方向移动的次数分别为： 、 、 、 （上下左右的英文首字母），那么必有： 。又因为最后 会回到原位，所以有多少次向上移动，就必定有多少次向下；有多少次向左移动，就必定有多少次向右，于是 ， 。于是 是偶数。

每移动一次，就是交换一对数对，那么逆序数的奇偶就改变一次。共改变了 次，而且 是偶数，所以最后逆序数的奇偶不变。

这就证明了题目无解。

至于还有没有更简单的不变量，你不妨尝试寻找一下，不要局限于一种方法。