有没有一种行之有效的方法可以将一种函数展开成另外一种函数的级数？ 第1页

可以是可以，但是很难，也不是行之有效的。

下面我们在本科数学分析和线性代数的基础上探讨一下。

假设现在我们有一系列函数 作为级数中的成分函数，可以是幂函数，也可以是三角函数。我们想把一个函数展开成级数的形式

注意到，由所有可以被展开成 线性组合的函数 构成了一个线性空间，因为，如果有两个函数都能在 下展开

那么他俩的线性组合必然也能在 下展开

这样就能把函数 看成是线性空间里的向量，那么 构成了一组基底。于是所谓的展开，就是求一个向量在一组基底下的分量 。

然而一般由函数构成的线性空间都是无穷维的，为了降低难度，先从有限维线性空间开始研究。

对于 维线性空间中的一个向量 ，我们想要求它在一组基底 下展开的系数，于是可以列方程

或者

其中 是个 的矩阵， 。

由于基底是最大线性无关组，所以 满秩，因此 存在唯一解。我们当然可以用

的方法计算。不过我们一般都喜欢在单位正交基下展开，因为这样会大大减少计算量，不用去求矩阵的逆这种复杂的运算。对于单位正交基 ，有

也就是除了第 位置的元素为1，其他元素都为0。

我们在方程两端同时左乘

便得到

进一步得到

这样，我们无需求 的逆就能算出展开系数。

我们能否把这个思路套到非正交基上呢？可以，利用特征值分解

于是我们的方程就变成了

进一步

我们引入中间变量 ， ，于是就有

由于 是对角阵，所以直接就有

于是

我们再利用 算出所求系数。

这种方法看似比直接求 的逆要麻烦许多，但是提供了一种很重要的思路，能让我们从有限维空间拓展到无穷维空间。在线性代数中，一个矩阵可以看做是一个线性变换。又因为是满秩的， 就构成了同构映射。在 所在的线性空间中， 的每个分量与 的所有分量都有关系，所以颇为复杂。而变换到 所在的空间后， 的 分量只与 的 分量有关系，处理起来就简单许多。

那么到无穷维的线性空间中，函数该如何展开呢？先从最简单的正交基开始。

在函数空间中，要讨论正交性，先定义内积。一般函数 和 的内积定义为

积分上下限根据不同的空间要做对应的调整，注意第二个函数要取共轭。在这个内积的定义下，函数 与 正交就意味着

现在要求一个函数在一组正交基 下的展开系数

可以引入无穷维向量，则我们的系数方程可以表示为

其中

我们定义线性算子

仿照有限维的做法，在方程两端同时作用 得到

进一步得到

于是我们很容易就求得了展开分量

这便是在傅里叶级数展开中常用的方法。傅里叶级数（或三角级数）的基底是 。在周期为 的周期函数空间中，内积的定义是

所以我们有

所以

就和计算傅里叶级数的公式一样了。

那么对于非正交基底的情况，就得参考有限维空间里的特征值分解了。我们重写一下求展开系数的方程

用线性算子（或线性变换）的眼光去审视，我们可以把方程改写成

意思是，我们把 的线性组合反过来看成是 对 的线性映射， 把无穷维向量空间映射到函数空间。这种线性映射不一定是紧的，也不一定是有界的。假设谱分解存在，那么我们就能找到一个酉算子 使得

这里 是乘法算子，定义为

对比有限维空间中的对角矩阵 满足的

就能明白这里面的思路了。

所以我们的方程化为

于是

于是，仿照有限维的情况，我们把 看做是空间的变换，于是在变换后的空间中就有

又因为 是乘法算子，于是有

再还原回原来的空间 ，就得到了我们想求的展开系数。

然而这里的问题是， 这一步是非平凡的，甚至不存在的。比如题主想求的在 类基底下的展开，因为 和 都不满足线性独立，因此连基底都做不成，而 这种形式的基底谱分解就更难了，只有 这种还算是能直接套用泰勒级数的。

对于非正交基底，除了用谱分解（特征值分解）外，泰勒级数还提供了另一种思路。泰勒级数（或洛朗级数）的基底 在通常内积的定义下是非正交的，但是人们巧妙地找到一种与正交非常类似的思路。

仿照正交基底情况下我们定义的线性算子 ，我们定义求导算子

同样也是线性算子。这种算子对于多项式基底有类似于正交的性质

其中 是克罗内克符号，只有 时取1，其他情况都取0。于是我们在方程两边同时作用

得到

于是

这就回到了我们非常熟悉的泰勒级数的通项公式。

然而对于一般的基底，寻找一个线性算子 满足

的过程是非平凡的。

所以人们为什么爱用泰勒级数和傅里叶级数（三角级数）呢？因为简单。想要展开成别的基底不是不可以，但是实在是无法行之有效。