Cauchy定理的证明是否依赖于Jordan曲线定理？ 第1页

提问的背景不能放进问题介绍中，所以我只能“自问自答”。我真正的问题放在了末尾。

关于复变函数中的Cauchy定理，不同教材的给出的叙述方式以及证明方法都不同。

第一种是一般物理系《数学物理方法》给出的：

Theorem 1. (Cauchy, 1846) 如果函数 在单连通区域 内全纯，且 在 上连续，则对于任意分段光滑的闭合曲线 ，有 。

这个定理额外假设了函数导数的连续性，借助Green公式能立刻得到结论，实质是一个过分弱化的Cauchy定理。

(Edit: 根据另一位答主引用的论文，这应该是1846年Cauchy发表Cauchy定理时使用的证明方法。在他的时代，数学家似乎普遍认为可微函数的导数都是连续的)

第二种是一众国内复变函数教材采取的形式，包括龚昇《简明复分析》和史济怀《复变函数》。这种教材的特征是完全绕开诸如“内部”“单连通”等拓扑学特征，假定Jordan曲线定理成立，并且把它们视为不证自明的几何直觉。

Theorem 2. (Cauchy-Goursat) 如果函数 在单连通区域 内全纯，则对于任意可求长的闭合曲线 ，有 。

这个定理被称为Cauchy-Goursat定理。它的证明分为如下几步：

Lemma 1. (三角形的Cauchy定理) 如果函数 在开集 内全纯，则对于任意三角形曲线 ，其内部完全在 内，则有 。

这个证明是初等的。

Lemma 2. (多边形的Cauchy定理) 如果函数 在开集 内全纯，则对于任意多边形（分段线性）曲线 ，其内部完全在 内，则有 。

证明的核心是把多边形做三角剖分，说明在内部的三角形道路上的积分相互抵消。

我个人认为这里可能隐晦地用到了Jordan曲线定理（或者其弱化版本），但是不清楚具体哪个细节用到了。是多边形的三角剖分存在性吗？还是证明为了剖分而引入的积分路径也在 内部？

(Edit: 多边形的三角剖分的存在性可以通过归纳法得到。任何多边形都存在其内部的三角剖分。因此我认为在这两个问题上是没有用到Jordan曲线定理的。详见Priestley的4.8)

Lemma 3. (多边形逼近可求长曲线) 设函数 在单连通区域 内全纯， 是一条可求长闭曲线。对于任意 ，都存在分段线性闭曲线 使得 的顶点都在 上，且 。

这个证明是初等的。

将Lemma 1 2 3合并可以证明Theorem 2。

(Edit: 我认为现在问题很可能出现在Lemma 3和Theorem 2的缝合上。也就是说，不能保证：1. Lemma 3构造出来的曲线P是简单的，因此Lemma 2不能直接适用；2. 单连通区域内的一个分段线性闭曲线的内部在这个区域内，这里还是需要某种拓扑学上的论证......)

第三种和第四种证明是包括Priestley的Introduction to Complex Analysis和其他一些国外教材用到的尝试绕开Jordan曲线定理的方法。

第三种方法：我们先定义复平面上的曲线同伦，把单连通区域定义为“一切分段光滑闭曲线都零伦”的连通开集。Cauchy定理的表述和第二种几乎一样，除了可求长弱化为分段光滑：

Theorem 2*. (Cauchy-Goursat) 如果函数 在单连通区域 内全纯，则对于任意分段光滑的闭合曲线 ，有 。

证明利用了如下定理：

Theorem 3. (形变定理) 设 是区域，若分段光滑曲线 在 上同伦，则对任意全纯函数 ，成立 。

Theorem 3的证明用到了Lemma 4：

Lemma 4. (星形区域的Cauchy定理) 设 是星形区域，即存在 使得对于任意 ，存在 内的一条线段连接 和 。对于任何全纯函数 和分段光滑闭曲线 ，有 。

Lemma 4 仅仅用到了 Lemma 1.

这里的逻辑链条是Lemma 1 ->> Lemma 4 ->> Theorem 3 ->> Theorem 2*。似乎成功绕开了Jordan曲线定理。

第四种方法：我们先定义分段光滑闭曲线 相对于一点 的卷绕数 。然后证明 是连续函数，于是我们就就能把分段光滑闭曲线 的内部定义为复平面上卷绕数不为0的点的集合。特别地，可以证明分段光滑闭曲线的内部总是有界的。此时Cauchy定理的叙述如下：

Theorem 4. (Cauchy定理的卷绕数形式) 设 是开集。 全纯。若 是一条内部完全在 内的分段光滑闭曲线，则有 。

注意到曲线内部的定义是由卷绕数给出的，是不依赖于Jordan曲线定理的。

这个证明的思路稍微复杂。首先我们从Lemma 4出发证明：

Theorem 5. (圆形区域的Cauchy积分公式) 设 是包含闭圆盘 的开集。 全纯。则对于任意 ，有 。

从Theorem 5的Cauchy积分公式出发，我们分别得到：

Theorem 6. (Liouville定理) 有界整函数是常数。
Theorem 7. (Riemann可去奇点定理) 若全纯函数在一个奇点附近有界，则该函数能全纯延拓到奇点上。

最终Theorem 5 6 7一起能证明Theorem 4.

这里的逻辑链条是Lemma 1 ->> Lemma 4 ->> Theorem 5 ->> Theorem 6 + Theorem 7 ->> Theorem 4。同样绕开了Jordan曲线定理。

最终我的问题如下：

1. 第二个证明具体哪个步骤明确地使用了Jordan曲线定理？
2. 能否改进第三个和第四个证明，使它们对任意可求长闭曲线也成立？