n阶矩阵A的各行各列只有一个元素是1或−1,其余元素均为0.是否存在正整数k,使得A^k=I? 第1页
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zhai-sen-8 网友的相关建议:
我看了各位的回答，满足这些条件的矩阵构成一个有限群实在是非常精彩的想法。下面我用我最近写的作业的一个结论来解决这个题。这个结论非常强，它完整刻画了置换矩阵的特征行为。
这个结论是：假设置换 被分解成disjoint的cycle的乘积 ，其中 是 ，那么该置换对应的置换矩阵 的特征多项式是
对这个结论使用cayley-hamilton定理就可得 是 的零化多项式。设 ，则由 推出 推出 推出 是 的零化多项式，故 。
对于结论的证明，这里说个提纲。首先考虑特殊情况：假如 本身 ，那么直接用特征多项式的定义 去计算每一项的系数得到 。然后考虑一般情形：假如 ，先对 做行变换变成分块矩阵 使得每一块 恰好是 的置换矩阵。由特殊情况知每个 的特征多项式是 ，那么由分块矩阵行列式的性质就知道整个矩阵 的特征多项式就是分块的特征多项式乘起来 。之前做的行变换只改变行列式正负号，而特征多项式的首项系数是1，所以前面还是正号。
有些元素为-1没有本质的困难，其他答主也说了这一点，这里用特征多项式说明一下。其实看上面的证明过程就可以发现，如果有些元素为-1的话， 的特征多项式就是 。还是设 就有 且 。所以 ，故 是 的零化多项式，即
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