拓扑学究竟是是一种什么样的学科？ 第1页

所谓拓扑学，很多科普文章写的是“橡皮泥几何”，其实这种比喻更适合来形容代数拓扑学。

拓扑学比较主要的三个分支是点集拓扑、代数拓扑和微分拓扑。

点集拓扑的出发点，是对微积分学里的一些基本概念，特别是对极限、连续及其相关的概念（比如开集、紧性）进行抽象，提炼出最本质的特征，相当于去皮留骨，这样就可以把这些“骨”移植到更广泛的空间上去，比如函数空间，以及更一般的拓扑空间，使得我们可以在这样的空间上定义极限和连续等概念。虽然点集拓扑学里已经给出了“同胚”的概念，但是对于一个一般的拓扑空间，我们的处理手段是相当有限（几乎为零）的——直到我们开始学习代数拓扑。

代数拓扑的工具，使得我们面对一个拓扑空间时，能够应对的手段大大拓宽了。“橡皮泥几何”指的便是“同伦变换”。通过同伦群和同调群，我们可以探测空间中的“空腔”，以及空间的拓扑“不平凡性”，尤其在处理高维空间时，同调群的计算便利性使得它比同伦群使用地更广泛一些，但是同伦群反映的信息更多一些（一分价钱一分货）。无论如何，在很多理论物理和理论经济学的抽象模型中，这些拓扑工具是很重要的。

粗略地说，微分拓扑是处理那些具有可微性的拓扑空间——光滑流形，以及大范围地定义在这些空间上的映射的学科。因此，自然地，微分拓扑是处理非线性动态系统的有力工具。比如，对于定义在整个流形上的动力系统，如果需要研究其不动点（均衡点，平衡点）的散布问题，则需要借助Morse理论和庞加莱（Poincare）与霍普夫（Hopf）的指数定理。其中，对于莫尔斯理论，其核心在于其莫尔斯不等式——这个不等式给出了光滑函数的临界点个数（这个数也被称为莫尔斯型数）的下界——这个下界由其临界点的对应维数的同调群的秩（贝蒂数）确定。同时，莫尔斯引理导致的形变定理在变分学占有重要地位，可以判断出一个非线性泛函临界点的存在性，其中一个最重要的特例，就是在偏微分方程理论中有名的山路定理。而指数定理，将不动点的个数与欧拉示性数联系起来，是一个联系分析学与拓扑学的深刻的结果，在数学史上，像这类定理一般都会得到极高的评价。最后，Morse理论现在已经被张恭庆等变分学家推广到了无穷维空间上，成为了微分拓扑学的一个“无穷维版本”，也是非线性泛函分析的重要组成部分。

不变

拓扑学的内核是几何学。

在欧氏几何中，刚性运动保持内积不变：即平移、旋转、翻折保持长度、角度不变；仿射几何中仿射变换则是保持单比、面积比不变；射影几何中射影变换则是保持交比不变……几何学的精神就是研究几何对象在特定变换下的不变性。这也就是菲利克斯·克莱因在1872年发表的爱尔兰根纲领中的思想。

那么沿着这个思路，拓扑学研究的就是——在连续映射下保持不变的性质。上面提及的变换、映射都是连续变换，它们为我们研究各种连续变换提供了丰富的例子。连续变换可以说是几何学中最为一般的变换，它可能不会保持长度，也可能不会保持比例……但是几何对象在任意连续映射下，总有些本质是不变的。

连续

了解拓扑学的前提，首先我们要对连续性有一定的了解。当然，我不可能直接将定义怼到读者脸上，对连续性的感性认知，人人生而就有。不过我在此拙劣地尝试去表述它：两个原本很近的点，经过连续映射后，它们的像点也很近。

我这里用了“近”这个感性的描述，事实上暗示了（拓扑）空间可能存在度量。诚然，度量诱导拓扑是十分自然的事情，足以应对常见的情形，但是数学家依然不满足，因为“远近”的概念还是没有摆脱欧氏空间给我们带来的束缚；邻域，则是从最基本的点集出发，为我们提供了对于“近”这一概念更一般性的刻画。我们最常见的邻域是度量空间中的开球。

邻域，简单来说就是描述一个（拓扑）空间的点是以什么样的方式聚集在一起的。它们被一份一份地打包起来，而连续映射其实是这些“包裹”的快递员。快递打包的灵活性，取决于邻域的丰富性。邻域就像是泡泡，两个泡泡并集是一个大的泡泡，两个泡泡交集会产生一个小泡泡。这些泡泡都可以作为快递的包裹外套。（我讲个泡泡啊！！！）

包裹从一个空间快递到另一个空间是不能“打散”的，打散则就意味着连续性的破坏。每一个完好无损被邮递过来的包裹，一定原先也是完好无损的，这就是连续性。

同胚

如果两个空间存在一个连续映射，其逆映射也连续，我们就说两者同胚。同胚就意味着两者的一切拓扑性质都相同：

同胚，那么从 出发到任意其他的拓扑空间 的连续映射，都自然对应一个从 到 的连续映射（上图红色箭头） ；反过来，如果 到 的有一个连续映射，那么一定有一个从 到 的映射。按范畴论的思想，这 并无本质区别，可以视为同一个对象（设想两个人的人际关系网完全一样，那么这两个人的社会身份是一样的，即人是社会关系的总和）。

将一个正方形压扁成一根线段是连续映射，但是这个映射不是同胚映射，显然它不可逆。从图形角度看这个“压扁映射”，它之所以不是同胚，是因为它将原来的点的邻域直接降维了，科幻小说《三体》中用二向箔降维打击太阳系，我想哪一天外星文明想还原太阳系，基本上是不可能的事情。

虽然正方形和线段不同胚，但是两者同伦。同伦是一个随时间变量变化的连续变形，同伦允许将对象“压扁”。事实上，同胚映射要求太高了，哪怕建立同伦也是十分困难的事情。

甜甜圈同胚于咖啡杯，因为两者的亏格都是1。如果在游泳圈（空心）表面挖去一个圆盘呢？它同胚于何物？上图为我们展示了这个连续变化的过程，其同胚型是两个平环在一个正方形区域粘贴重合。如果求其同伦型，则可以继续压缩变细，最终成为两个圆周的一点并。

代数

不变量其实是为了分类。

同胚（同伦、同调）显然是一个等价关系，彼此不同胚的拓扑空间，它们注定有质的区别。闭曲面分类定理告诉我们，这个区别就在于“洞”的个数，称之为亏格。对于低维空间，这都是显而易见的，那如何探讨更高维的不变量呢？

与此同时，数学家不再满足“不变量”，谁说不变量非得是个数呢？拓扑空间是否可以用其所蕴含的群作为名片？代数和拓扑应运而生。

例如由拓扑空间上道路的接续作为乘法而构成的群——基本群，由闭链的形式和所构成的交换群——同调群……这些群的定义不受维数的影响，是研究高维拓扑空间的利器。事实上，拓扑空间各个维数同调群的秩的交错和，恰恰等于欧拉示性数，而后者与亏格有关。回忆黄金多面体的欧拉公式：

这是一个交错和的形式。这里的 就是球面的欧拉示性数，因为黄金多面体和球面同胚。

到目前为止，就连关于高维球面的同伦群（稳定同伦群理论）仍然由许多未解之谜，数学家为此开发了许多代数拓扑工具：同调代数、谱序列、同伦论……

微分

正如前文所述，一般的拓扑空间可能都不具备度量。但是如果想将分析的工具应用在拓扑学中，我们不得不对拓扑空间的光滑性有一定要求，我们称之为微分拓扑流形。

流形上的向量场是切丛的截面。所谓切丛由流形每一点的切空间（切线、切平面、……）构成。Hopf-Poincare定理告诉我们，流形上向量场的所有奇点指数，与流形的欧拉示性数有关。而Morse理论则告诉我们，通过流行嵌入到欧氏空间中的高度函数的非退化临界点，可以决定流形生长的细节——在哪里分叉，在哪里闭合，于是其同伦型也就被决定了。

仅仅是研究切丛就获得了如此丰富的信息，著名的Gauss-Bonnet-Chern（陈省身）定理更是暗示流形的纤维丛蕴藏着更丰富信息……

（未完待续）