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实变函数鲁津定理的疑问? 第1页

  

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谢邀。


我们先看一下相对连续的定义:

设 X 是 ℝ 的子集,设 f :X → ℝ 是函数. x₀∈ X,则当我们说 f 在 x₀ 处连续,当且仅当有

在 x₀ 的连续性,一般来说需要强调在什么“环境”中,也就是探讨:该点处于什么样的集合中。而对于我们通常意义下的连续性,x₀∈ ℝ 可以忽略不写。

所以,利用这个定义,我们甚至可以定义在有理数集上的连续函数。一个平凡的推论就是:

设X ⊆ Y,函数 f 在 Y 上连续,则必在 X 上连续。但反之不成立。

就比如说 Dirichlet 函数,它在有理数集上是连续的,但在实数集上是处处不连续的。


回到问题。

如果我们去掉实数中的有理点,则 Dirichlet 函数在无理数集中连续。




  

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