线性映射为什么那么重要？ 第1页

依照认识顺序从简单到复杂的逻辑，线性的规律是人类最早认识且把握的。关于这一点就不细说了。

代数角度

从代数的角度讲，关于群同态

有

这是最简单的“线性映射”，由群论的知识有，

此为第一同构定理。可以看出，同态有助于我们对于群 结构的理解。当我们考虑环、模、域时，照样有同态的定义：

而我们平时所说的线性映射，实际上指的是在模之间的同态。同群的第一同构定理一样，在环、模、域也有类似的定理帮助我们理解代数结构。

几何角度

从几何的角度看，线性映射很“天然”。在欧式空间中，伸缩、旋转、反射都是线性映射，而这些变换对于人类最为直观（再算上平移，就是仿射变换）。如果说平移保持的是点与点之间相对的距离不变（等距变换），那么对于线性变换（满秩的线性映射）就是保持线性性质不变。

另外线性变换最大的优点是：只需知道有限个点处的取值，就可以求出来所有点的值。这有限个点就是基底。这种一叶知秋的感觉呢，比非线性的好多了。

微分方程角度

我们可以将线性方程写成求线性算子的零点的形式。

从实际操作的角度，也就线性方程比较友好。非线性的方程，人类确实所知甚少。随手写一个非线性 PDE，有没有解都很难判断。但是线性微分方程就非常透明，没有非线性那样令人抓狂。顺便提一下 ODE 中一个重要的线性映射：

就是特征方程。这是一个将函数方程映射为代数方程的线性映射。第一次学到这东西，我觉得是个人都会感到惊讶吧。

泛函分析中线性映射是处在核心的地位，泛函那真是无所不包了。我曾以为自己很了解线性映射，自从学了泛函，学到我都已经不认识线性映射了……