百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



有哪些任意阶导数的零点都相同的函数? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

定理 与 在 上互素,当且仅当 无重根。

证: 反证法。若 有重根,则

求导

这与 与 互素矛盾。

假若 与 有公因式 ,且满足 是 的 重根,于是设

于是 ,设 ,则

由积分第二中值定理

这与 是 的 重根矛盾。


注意:这里实际上我们推广了多项式中的定理。我们约定所谓重根是指含有因式 ,其中 。我们说有根,是指 。若考虑 的情况,则求导后会出现奇点,这不在我们的关心的范围。


于是,若 零点相同,则说明 有重根,而且对任意 都成立。也就是说这个根不会受到求导的影响以致于消失。所以只能联想到指数函数——

显然他们只有在 (可去奇点)这一个根,继续求导,可以预见导数总是如下形式

其中 都是多项式, 依然是根(这个结论读者自证吧)。不过除此之外还会产生 的根,所以按照此种方法,我们只能保证 的任意阶导数都有同一个根。

当然,零函数就不说了。




  

相关话题

  如何证明 2 的平方根不是有理数? 
  闭区间上的导函数f'有界,是否可以在闭区间上取到最大值,最小值? 
  是否存在这样一个非常数函数,定义域是实数集或其子集,值域仅为有理数集子集?是否有这样的函数是连续的呢? 
  如何用高中数学知识证明 ln(ln88)<3/2? 
  下面这个数列极限如何求出来呢? 
  求助,这个函数的极限怎么求? 
  如何计算 ∫1/(sinθ+cosθ) dθ 这种积分? 
  闭区间上的导函数f'有界,是否可以在闭区间上取到最大值,最小值? 
  你曾经看过哪些精彩的数学书? 
  如何算出这个求和式子结果等于 (2n)!!/(2n+1)!! ? 

前一个讨论
线性映射为什么那么重要?
下一个讨论
N个互异数随机组成的数组的逆序数的分布公式是什么?





© 2025-05-10 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-05-10 - tinynew.org. 保留所有权利