无穷大的平面是圆形还是正方形？ 第1页
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liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
大象无形。
不过光写四个字可能有点民科。如果按照标准面积微元积分dxdy，x 从负无穷到正无穷，y 从负无穷到正无穷，这样看上去平面似乎是正方形；如果以极坐标的方式积分，似乎更像圆。这可能是题主所关注的现象。
但是无穷广义积分还可以以其它方式趋于无穷，以长方形、椭圆甚至不规则的区域；研究更广义的积分或许会选择特定的区域逐渐扩张至无穷，因为按照其他区域积分极限不存在。
所以从积分收敛的角度研究平面不具有一般性。
从拓扑的角度，平面和开圆盘是同胚的（球极投影），此时你说平面是正方形开域也是对的，在同胚意义下两者一样。如果给平面添加无穷远点，也就是将平面各方向的无穷远都捏成一个点，那么扩充后的平面与球面同胚。
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