高等数学中学泰勒公式，感觉几何意义很模糊，怎么理解？ 第1页

谢邀.

分析层面的就交给其他大神讲吧，我从多项式空间的角度讲讲：

设 是 上次数不超过 n 次的多项式空间. 每个多项式都可以表示为 中一个点，比如——

考虑微分算子 在上面这组基下的矩阵：

因为

于是

熟悉 Jordan 矩阵的人自然会考虑另外一组基：

在这组基下的微分算子的矩阵：

因为

所以

更一般地，若考虑空间 的微分算子有：

而对于 Jordan基 ——

还没完，继续利用多项式 ，

我们看矩阵的每一列（行），都是泰勒各阶展开，而对于一般的 n 次可微函数的 Taylor 展开， 只是对上面思想的一种推广：将一个解析函数用空间的一组 Jordan 基来分解.

怎么样，是不是感觉更模糊了……

由于良心的愧怍，我觉得我应该再解释解释:

由上面的分析可知，Taylor 展开实际上是对一个 n 次可微的函数的一种分解，那么有人会问——

分解只有这么一种方式吗？

当然不可能只有一种分解方式，每当我们找到一组不同的基，就能找到一种分解方式。于是紧接着问——

既然有那么多的基可供选择，那么选择 Jordan 基来分解有什么特别的好处？

其实我的回答一开始就已经显露出 Jordan 基的优点了。学过高等代数就知道 Jordan 基的优越性，它可以将任一个线性变换（矩阵）庖丁解牛般地分解为准对角矩阵（如果矩阵可对角化，那就是对角矩阵），一个线性变换的全部信息将如初出浴之美人一览无余：它的秩是多少，谁是它的特征向量、准特征向量，它的象空间是如何被直和分解为若干不变子空间的……这些它都可以回答。当然，最重要的是简洁而有效，Jordan 矩阵的计算实在太友好了，算过矩阵的人都明白她的好。

如果用的是其他的基来分解，你很难想象 f(x) 的各阶导数如后宫佳丽般款款而立，教郎恣意怜（为所欲为）吗？不会，等待你的往往是一个极其复杂、毫无无意义、丑陋的

……矩阵。