曲率公式是怎么推导的？ 第1页
1
li-yi-ming-98-37 网友的相关建议:
蹭个赞好了。。。平面的已经有人做了，那我就来算一下三维下任意参数曲线好了。（其实是今天正好做了一道微分几何的作业题。。。）
设曲线为 并设曲线的长度变量为 。
定义：曲线单位切向量为 。
由于单位切向量长度为1，因此可知 和 。
根据曲率的定义，可知 ，其中 是曲率， 是单位主法向量，因此
注意到 ，其中 表示矢量积。令 ，则有
因此，
注意到 ，因此可进一步化简曲率，得
让我们重写一遍最重要的结论性公式：
显然，二维的特殊情况下的对应结论也可以由该公式轻易求得。
另外顺手贴上另一道关于挠率的作业题：
travorlzh 网友的相关建议:
曲率被定义为 ，其中R为曲率半径，其中曲率半径被定义为：
现在考虑二维情况，即 ，则有：
根据 有 ，于是：
为了方便后续的书写，定义 则有：
再根据曲率的定义，可得：
然而以上的公式仅仅适用于二维情况。因此我们需要找到一个更通用的曲率公式。现在设 为某参数曲线，定义其单位切向量 ，则根据几何直觉，有
代回曲率半径的定义式，得：
因此我们也得到了曲率的另一种定义 。有了这个定义，我们就可以开始用线性代数的技巧来得到更具体的曲率公式：
根据 ，有 。这意味着单位切向量和它的导向量正交。因此两者的叉积为 。根据 有 ，因此：
代入回曲率的定义式，得
li-bing-54-33 网友的相关建议:
比较明了的证明方法，手写的已经删掉了，太难看。。。
1
相关话题
这个定积分怎么搞？科学和数学的关系是什么?
一个脑洞：理论上，是否有可能用一根棍子记录无限多的信息？
高中生如何自学相对论和几何？
这个不定积分为什么是这样的啊？
为什么四则运算规定 × / 的优先级比 + - 高？
100 万和 50% 的机会拿到 1 亿，你会选哪个？
印度数学家拉马努金于 2020 年 4 月 26 日逝世一百周年，如何评价他一生的经历与贡献?
数学领域做不同分支的是否隔行如隔山？
我好喜欢数学，学不好，怎么办？
下一个讨论
何为神之一手？
相关的话题
请教高人137这个数字做为周期数有啥特别的含义？《三宝大战诸葛亮》牛顿为什么会创立微积分，这是正确答案、还是在娱乐、还是在误导？
请问下面两个极限问题如何解决？
如果高考允许以一百万人民币一分的价格无限量购买分数（收入归大学所有），那对社会会有怎样的影响？
这个含正弦函数的和式极限怎么求?
在一个现实中的数轴上可以找出无理数吗？
为什么会对微积分有种「这个思路不是严格推导出来的，而有一点人为规定的成分」的感觉？
本科数学系，未来只在业余时间做数学研究有可能吗？
给定曲率下界，平面上什么曲线所围面积最大？
求极限过程（如下图）？
如何处理这类三个连乘的积分呢？
上大学学了高等数学之后看高中的数学题是一种怎样的体验？
为什么这个极限题等于0而不是等于1？
数学专业本科生，未来选择哪条路赚钱最多？
Riesz引理的直观理解或者是几何意义是什么?
初等函数之上有无定义「高等函数」？
极坐标下，形如 r = (sin(kθ)/sin((n + k)θ)) l 的曲线如何判断形状？
实数完备性的基本定理为什么是 6 个？
如何证明下面的数列极限为0？
怎么求x的x次方n阶导？
QQ 群为什么叫 QQ 群，而不叫 QQ 环，QQ 域或者 QQ 格？
一道高代行列式计算的题，是怎么样的思路呀？
数学上有哪些丑陋的公式？
lnx和x的几次幂的图像最接近（保留两位小数）?
有哪些玩游戏时能使用的高等数学知识？
目前最小的级数形式的无穷大是多少？
什么是上极限？
π可能等于4吗 ?
如何入门 Yamabe 问题？
数学这门学科有多有趣？