数论问题困难性的根源是什么？ 第1页

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并不是数论相比其他数学分支更困难，主要是 表述比较初等、不涉及抽象概念的 未解决难题，大部分分布在数论或者组合数学这样的分支里。而且人天然会把目光聚焦在 未解决的难题 上面。像 二次互反律，或者四平方和定理 这种“不那么难”的数论问题，因为在200年前就被大数学家们用比较初等的方法解决掉，从而几乎丧失掉了作为难题的尊严。众所周知，数论是数学中最为古老的分支之一，经过两千年来百代数学家们层层筛选后仍然没有被解决的问题，它当然会是难题。一个更有意义的问题或许是：“为什么数论领域能够源源不断地生产难题？”

不过这种问题对我来说也不难理解。因为不只是数论，几乎所有还活跃的数学研究领域，要造难题简直太容易了。就拿微分几何来说吧，Einstein度量是比较核心的几何对象之一。三维及以下的Einstein度量是平凡的常曲率空间；然而就在第一个不平凡的维度，4维Einstein流形，它的分类就是一个难得令人发指的问题。即使对最简单的4维闭流形—— ，如果你能分类它上面所有Einstein度量，你基本有望拿Veblen几何奖，甚至是菲尔兹奖。即使是对限制性强得多的Kahler-Einstein度量，其在4维（复2维）的分类问题也是高度非平凡的问题，在过去20年众多几何分析专家对KE曲面进行了大量研究，取得了一些重要结果（但离完全分类还差得远）。而要完全分类4维实Einstein度量？呵呵，悲观估计未来一个世纪内都没什么希望。

其实“能做出来就能拿菲奖”的数学难题，在各大数学领域简直成千上万，似乎给人很多机会，然而做不动就是做不动。有时候不禁感叹人类对数学的认识是多么匮乏，很多理论最简单的情形都是一个个大猜想。——比如Langlands纲领似乎只做到GL(2)的情形？这也算是数论相关，数论问题可不都是像哥猜那样平易近人。。这种无力感，绝不仅仅在数论领域存在，在所有活跃数学分支，以及数学以外，只要在研究前沿，都能感受到“未知的深渊”。