曲率公式是怎么推导的？ 第1页
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li-yi-ming-98-37 网友的相关建议:
蹭个赞好了。。。平面的已经有人做了，那我就来算一下三维下任意参数曲线好了。（其实是今天正好做了一道微分几何的作业题。。。）
设曲线为 并设曲线的长度变量为 。
定义：曲线单位切向量为 。
由于单位切向量长度为1，因此可知 和 。
根据曲率的定义，可知 ，其中 是曲率， 是单位主法向量，因此
注意到 ，其中 表示矢量积。令 ，则有
因此，
注意到 ，因此可进一步化简曲率，得
让我们重写一遍最重要的结论性公式：
显然，二维的特殊情况下的对应结论也可以由该公式轻易求得。
另外顺手贴上另一道关于挠率的作业题：
travorlzh 网友的相关建议:
曲率被定义为 ，其中R为曲率半径，其中曲率半径被定义为：
现在考虑二维情况，即 ，则有：
根据 有 ，于是：
为了方便后续的书写，定义 则有：
再根据曲率的定义，可得：
然而以上的公式仅仅适用于二维情况。因此我们需要找到一个更通用的曲率公式。现在设 为某参数曲线，定义其单位切向量 ，则根据几何直觉，有
代回曲率半径的定义式，得：
因此我们也得到了曲率的另一种定义 。有了这个定义，我们就可以开始用线性代数的技巧来得到更具体的曲率公式：
根据 ，有 。这意味着单位切向量和它的导向量正交。因此两者的叉积为 。根据 有 ，因此：
代入回曲率的定义式，得
li-bing-54-33 网友的相关建议:
比较明了的证明方法，手写的已经删掉了，太难看。。。
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