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曲率公式是怎么推导的? 第1页

  

user avatar   li-yi-ming-98-37 网友的相关建议: 
      

蹭个赞好了。。。平面的已经有人做了,那我就来算一下三维下任意参数曲线好了。(其实是今天正好做了一道微分几何的作业题。。。)

设曲线为 并设曲线的长度变量为 。

定义:曲线单位切向量为 。

由于单位切向量长度为1,因此可知 和 。

根据曲率的定义,可知 ,其中 是曲率, 是单位主法向量,因此

注意到 ,其中 表示矢量积。令 ,则有

因此,

注意到 ,因此可进一步化简曲率,得

让我们重写一遍最重要的结论性公式:

显然,二维的特殊情况下的对应结论也可以由该公式轻易求得。

另外顺手贴上另一道关于挠率的作业题:


user avatar   travorlzh 网友的相关建议: 
      

曲率被定义为 ,其中R为曲率半径,其中曲率半径被定义为:

现在考虑二维情况,即 ,则有:

根据 有 ,于是:

为了方便后续的书写,定义 则有:

再根据曲率的定义,可得:


然而以上的公式仅仅适用于二维情况。因此我们需要找到一个更通用的曲率公式。现在设 为某参数曲线,定义其单位切向量 ,则根据几何直觉,有

代回曲率半径的定义式,得:

因此我们也得到了曲率的另一种定义 。有了这个定义,我们就可以开始用线性代数的技巧来得到更具体的曲率公式:

根据 ,有 。这意味着单位切向量和它的导向量正交。因此两者的叉积为 。根据 有 ,因此:

代入回曲率的定义式,得


user avatar   li-bing-54-33 网友的相关建议: 
      

比较明了的证明方法,手写的已经删掉了,太难看。。。






  

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