现实世界中是否存在非欧几何空间？ 第1页

我们一般上说的欧氏、非欧几何之间的区别很大程度上是度量上的区别，即便拓扑形状是一样的，不同的度量也会造成区别；然而从空间局部上看，和欧氏空间一样（流形的概念）。然而当你从一点出发一旦走远，空间的弯曲就暴露了，比如三角形的内角和逐渐偏离180度。高斯正是由于测量大地三角形，才孕育了空间曲率的想法，从而导致了非欧几何的诞生。

那么度量和曲率有什么关系吗？——度量决定了曲率，我们称之为内蕴性。

内蕴性，是说和这个空间是如何等距嵌入到更高维的空间无关，如果有一只蚂蚁科学家，它想探索它所在的二维宇宙的形状，不需要上升到第三维去鸟瞰全貌，而是仅仅通过计算二维曲面每一点的曲率也可以判断。

这对于人类而言探索宇宙有着很重要的意义。

欧式空间的度量其本质就是勾股定理，如果写成标准的形式就是：

而对于一般的非欧空间，它的度量是

我们称之为黎曼度量，其中 构成一个正定矩阵，而欧氏度量对应的仅仅是单位阵。单位阵只有一个，正定阵有无数个，从概率从角度讲，宇宙是欧氏度量的概率是

爱因斯坦认为引力其实是时空曲率的体现，时空曲率是因为质量的影响。在宏观尺度上（我们避免讨论微观量子力学），假如宇宙没有质量，则宇宙处处平坦，那就是标准的欧氏空间，但是现实并非如此。

一个磁场，就可以是一个非欧空间。一个电子以某初速度射入与之垂直的匀强磁场，不给它施加额外的力，它就会自动走出一段圆弧。它之所以走出这样的曲线，是因为这样的曲线能量极小。牛顿力学建立在平坦的欧氏空间，牛顿第一定律：物体不受力或静止或匀速直线运动。直线的能量最低，因为没有其他力对其做功注入新的能量。这种能量极小的曲线就是我们所说的测地线，一般科普上定义测地线侧重于“最短”，这是建立在黎曼度量的角度讲的，并不是我们平常意义上的长度。或许用能量的角度讲读者会更容易把握测地线的意义，当然两种说法等价。

对于一个不均匀的透明媒介，光在其中传播，对于光而言它有可能走的不是直线：设想光在无数个彼此无限靠近的界面发生折射，那么光线沿着曲线轨迹也就不稀奇了。事实上当年牛顿在解决速降线的问题是就利用的这种思想（关于这个的科普太多了，我就不废话了）。这种情况下，你就可以把这个非匀质媒介视为一个非欧空间。

我忽然想到了《庄子》庖丁解牛的故事，庖丁的刀刃在牛的躯体内游走，在某种意义上，他的刀走的就是测地线，当然是在刀刃磨损最少意义下的能量泛函。测地线就是的道的一种具象。